控制系统的稳定性课件.ppt

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1、第五章系统的稳定性第一节概述第二节Routh（劳斯）稳定判据第三节Nyquist稳定判据第四节系统的相对稳定性第五节系统稳定性分析的MATLAB实现第一节概述一、稳定性的概念图5-1第五章系统的稳定性系统特征方程的全部特征根均具有负部。若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程（输出）随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复平衡状态的能力，则称该系统为稳定。二、系统稳定的充要条件第二节Routh（劳斯）稳定判据第五章系统的稳定性线性系统稳定的充要条件是其特征方程的所有特征根均具有负实部。因此，判别系统稳定性需要

2、求特征根，当系统阶次较高时，求解较为困难。为此，Routh提出用特征方程的系数来判别根的正负。一、系统稳定性的必要条件1．系统稳定的必要条件：第五章系统的稳定性若系统特征方程为：D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a0=0则全部特征根均具有负实部，必须：即特征方程各项系数ai>0an>0,an-1>0,…,a0>02．系统稳定的充要条件：第五章系统的稳定性Routh表第一列元素均不为零，且符号相同。注：特征方程中实部为正的根的个数等于Routh表中第一列元素符号改变的次数。以六阶特征方程为例：D(s)=a6s6+a5

3、s5+a4s4+a3s3+a2s2+a1s1+a0=0000s0000s100s200s30s40a5s5a2a4a6s6a0a1536451aaaaaA-=516252aaaaaA-=0553aaaaAo==125311AAaaAB-=135112AAaaAB-=121211BBAABC-=01312aBABC==121211CCBBCD-=0121aDCDE==a3第五章系统的稳定性第一列符号无改变，系统无实部为正的特征根→稳定第一列符号改变n次，则有n个实部为正的特征根→不稳定第五章系统的稳定性1）系数排成两行ana

4、n-2…an-1an-3…2）列出Routh表每一行元素可以同时乘以或除以相同数3）由稳定判据判断稳定性∴判别系统稳定性步骤：解：列Routh表：002s000s10s20110s3253s47.41013510=×-×21003210=×-×2.37.421017.4-=×-×第五章系统的稳定性例：设系统的特征方程为D(s)=3s4+10s3+5s2+s+2=0试判别系统稳定性3．Routh判据的特殊情况第五章系统的稳定性第一列：3104.7－3.22∵第一列符号改变两次∴系统不稳定，具有两个实部为正的特征根。1）Rou

5、th表中某行第一列元素为零，其余列元素不全为零，则以很小的正数0第五章系统的稳定性∵第一列符号改变两次∴系统不稳定，有两个具有正实部的特征根。02s00s120()s2-31s3-3-2例：D(s)=s3-3s+2=0试判别系统的稳定性例：D(s)=s5+s4+2s3+2s2+3s+5=0解:005s000-2s105s20s3521s4321s5)(012121e=×-×ee22+215131-=×-×∵第一列符号改变两次∴系统不稳定，有两个具有正实部的特征根。第五章系统的稳定性2）Routh表某行元素全为零：

6、（若第k行）处理方法：第五章系统的稳定性a)以上一行（k-1）行的系数构成一个辅助方程（阶次一般为偶数）Sn-k+2b)对该辅助方程求导，所得系数代替k行c)继续计算Routh表该情况表示特征根中存在以原点对称的根iii)两对复根，实部符号相异，虚部相同这些根可由辅助方程求得。i)存在一对绝对值相等的正负实根ii)一对共轭纯虚根∵第一列元素符号没有变化∴系统稳定例：D(s)=s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0第五章系统的稳定性0000s0000s100s2000(3)0(1)s3016(8)s401

7、6(8)12(6)2(1)s5162081s62212182=×-×12216202=-×311361=×-×81081=-×31(1)(6)辅助方程2s+12s2+16=0或s4+6s2+8=0求导得4s3+12s=0或s3+3s=04二、Hurwitz(赫尔维兹)判据D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a0=0第五章系统的稳定性onnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaan2123142531000000000LLMMMMLLL--------=DL2）Hurwitz行列式k>0(k=1,2,…,n)系统稳

8、定的充要条件：1）特征方程各项系数均大于零第五章系统的稳定性1=an-1>0n>00>=an-2anan-3an-1D2>00=D3an-3an-1an-6an-4an-2an-5an-3an-1Hurwitz行列式直接由系数排列，规律简单而明确，因此，比列Routh表要简单些，使用也较为方便，但对