第5章控制系统稳定性.ppt

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1、第五章系统的稳定性5.1系统稳定性的初步概念一、系统不稳定现象的发生首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。第三，控制理论所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。二、稳定的定义和条件若系统在初始状态（不论是无输入时的初态，还是输入引起的初态）的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零，则该系统为稳定的。方法（1）对于n阶定常线性系统微分方程，拉氏变换后得到系统在初始状态下的输出为当特征方程的根各不相同时，系统的输出为若系统的特征方程的根实部均为负值，即Re[

2、si]<0，则零输入响应最终将衰减为零。这样系统就是稳定的。系统的输入项参数对系统稳定性没有影响，即传递函数的零点对系统的稳定性无影响。方法（2）若对线性系统在初始状态为零时输入单位脉冲函数，单位脉冲响应的形式于零输入响应形式相同。所以当单位脉冲响应趋于零时，系统则稳定。综上所述，系统稳定的充要条件：系统的全部特征跟都具有负实部。即系统传递函数的全部极点均位于[s]平面的左半平面，系统则稳定。5.2Routh（劳斯）稳定判据一、系统稳定的必要条件要使全部特征根均具有负实部，必须满足两个条件，即必要条件：1）特征方程的各项系数ai都不为零。因为若有一系数为零，则

3、必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，此时系统为临界稳定或不稳定。2）特征方程的各项系数ai的符号都相同。二、系统稳定的充要条件1、Routh表2、Routh稳定判据Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。系统稳定的充要条件是，Routh表中第一列各元符号均为正，且值不为零。例1：(1)(2)(3)一项为负，不稳定缺项，不稳定满足必要条件，可能稳定对于三阶系统a0s3+a1s2+a2s+a3=0只要a1a2>a0a3则系统稳定对于二阶系统a0s2+a1s+a2=0所有系数全为正，稳定。例2Routh表S4282S3

4、230S20S100S0200例3S41820S35160S24.8200S1–4.8300S02000第一列符号改变两次，说明有两个根在右半平面，系统不稳定。例1系统的特征方程判定系统稳定性例2已知ξ=0.2，ωn=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。解：由于特征方程中有一系数为负，所以闭环系统不稳定。解：系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为特征方程为由稳定的充要条件可知：0

5、等于零的元，然后计算Routh表的其余各元。2、如果当计算Routh表的任意一行中的所有元均为零时，可利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用这个多项式方程的导数的系数组成计算Routh表的下一行。三、Routh判据的特殊情况特殊情况（1）Routh表第一列出现零元素例4S5121S4241S301/20S210S11/200S0000系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面。特殊情况（2）Routh表中某一行全为零例3S61694S51540S41540S3S22.5400S13.6000S04000000041000辅助方程某一行全为零，说

6、明存在对称于原点的根。系统不稳定Routh判据的应用（1）估计稳定裕量例4S3117S2711S10S0110jωjω’σσ0oo’设S=S´－σ0，若σ0=1,用S=S´－1代入此时有一个特征根在原点，其余在左半平面。（2）确定参数范围特征方程特征方程：S3T1T21S2T1+T2kS10S0k0为稳定条件5.3Nyquist稳定判据一、幅角原理（Cauchy）对于复变函数如果函数f（Z）在Z0及Z0的邻域内处处可导，那么称f（Z）在Z0解析。如果在区域D内每一点解析，那么称f（Z）在D内解析或称f（Z）是D内的一个解析函数。如果f（Z）在Z0不解析，那么称

7、Z0为f（Z）的奇点。设F(s)在[s]平面上（除有限个奇点外）为单值的连续正则函数。设[s]平面上解析点s映射到[F(s)]平面上为点F(s)，或为从原点指向此映射点的向量F(s)。在[s]平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不经过F(s)的奇点，则在[F(s)]平面上必有一对应的映射曲线LF，也是一封闭曲线。当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方向旋转N周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N周，这就等于曲线LF顺时针包围原点N次。令：Z为包围于Ls内的F(s)的零点数，P为包围于Ls内的F(s)的极点数，则N=Z-P向量F(s

8、)的相位为假设Ls内只包围了F(s)的