高中数学第二章几个重要的不等式2.1.1简单形式的柯西不等式活页作业布置讲解8北师大版选修4_.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯活页作业(八)简单形式的柯西不等式一、选择题1．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的大小关系是()A．≤B．Q解析：设＝(ax，by)，＝(a，)，mnb则

2、ax＋by

3、＝

4、m·n

5、≤

6、m

7、

8、n

9、＝ax2＋by2·a2＋b2＝ax2＋by2·a＋b＝ax2＋by2，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.答案：Amn2．设x>0，>0，>0，>0，且＋＝1，则u＝＋y的最小值是()ymnxyxA．(m＋n)2B

10、．mC．nD．(m＋n)2xy(xy)mnmy·n2(mn)2解析：根据柯西不等式，得＝＋xy≥xy＝，＋＋x·＋＋当且仅当xy＝时，等号成立，mn这时u取最小值为(m＋n)2.答案：A3．已知x，y∈(0，＋∞)，且xy＝1，则1＋11＋1的最小值为()xyA．4B．21C．1D．411解析：1＋x1＋y＝212212≥1＋x1＋y1×1＋1·12＝1＋12＝22＝4.xyxy答案：A1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4．已知θ∈R，则42＋sin2θ＋2cosθ的最大值是()A．23B．366C．3D．62θ≤2＋22

11、·2θ22解析：42＋sinθ＋2cos42＋sin＋cosθ＝36，263当且仅当4cosθ＝＋sinθ，即sinθ＝±3，cosθ＝3时等号成立．答案：B二、填空题5．若x＋2y＝5，则x2＋y2的最小值为________.22222y解析：由柯西不等式，得(x＋y)(1＋2)≥(x＋2y)，当且仅当x＝2时取等号．所以225(x＋y)≥25.所以x2＋y2≥5.答案：56．已知2＋b2＝4，则

12、acosθ＋sinθ

13、的最大值是________.ab解析：因为(acosθ＋bθ2≤(a2＋b2)(cos22θ＝sin)θ＋sinθ)＝4，当且仅当asinbcosθ时等号成立，所以

14、

15、cosθ＋sinθ

16、≤2.ab答案：2三、解答题7．已知函数y＝3x－5＋46－x，求函数的定义域和最大值．解：易知函数的定义域为[5,6]，且y>0.∴y＝3x－5＋46－x≤32＋42·x－52＋6－x2＝5，134当且仅当36－x＝4x－5，即x＝25时取等号．故函数的定义域为[5,6]，最大值为5.8．若0

17、－x2y2→

18、＋

19、→

20、＋

21、→

22、＋

23、→

24、→＋

25、→

26、＝22.＋－＝

27、≥

28、

29、OPAPBPCPABOC2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一、选择题1．已知θ为锐角，a，b均为正实数．则下列不等式成立的是()2a2b2B．(a＋2a2b2A．(＋)≤2＋2)≥2＋2abcosθsinθbcosθsinθ22a2b22a2b2C．a＋b＝cos2θ＋sin2θD．(a＋b)

30、a＋b

31、＝aθ·cosθ＋bθ·sinθ≤a2＋b2·1＝cossinc

32、osθsinθa2b2cos2θ＋sin2θ，当且仅当asin2θ＝bcos2θ时取等号．所以(＋)2≤a2＋b222.abcosθsinθ答案：A2．若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形，则长方形ABCD的周长的最大值为()A．2RB．22RC．4RD．42R解析：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为4R2－x2.于是长方形ABCD的周长l＝2(x＋4R2－x2)＝2(1·x＋1·4R2－x2)．由柯西不等式，得l≤2[x2＋(42－x2)2]1(12＋12)1＝R222×2R·2＝42R，当且仅当x·1＝4R2－x2·1，即x＝2R时等号成立．3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

33、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯此时，42－x2＝42－2R2＝2，RRR即长方形ABCD为正方形．故周长最大的内接长方形是正方形，其周长为42R.答案：D二、填空题3．函数y＝3sinx＋2＋cos2x的最大值是_________.解析：y＝3sinx＋2＋cos2x＝3sinx＋4cos2x≤2＋422＋cos2x＝5，当且仅当4sinx＝x3cos2x时取等号，∴ymax＝5.答案：54．已知x，y均为正数，且