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《2017_2018学年高中数学 几个重要的不等式2.1.1简单形式的柯西不等式训练北师大版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1.1简单形式的柯西不等式一、选择题1.下列说法:①二维形式的柯西不等式中a,b,c,d没有取值限制.②二维形式的柯西不等式中a,b,c,d只能取数,不能为代数式.③柯西不等式的向量式中取等号的条件是α=β.其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.0个解析 由柯西不等式的概念知,只①正确,a,b,c,d是实数,没有其取值限制.答案 A2.函数y=+的最小值是( )A.20B.25C.27D.18解析 y=+=[2x+(1-2x)]=[()2+()2]≥=(2+3)2=25.答案 B3.设a、b∈(0,+∞),且a≠b,P=+,Q=a+b
2、,则( )A.P>QB.P≥QC.P0,b>0,∴a+b>0.∴≥=a+b.又∵a≠b,而等号成立的条件是·=·,即a=b,∴+>a+b.即P>Q.答案 A二、填空题4.设a、b、c是正实数,且a+b+c=9,则++的最小值是________.解析 ∵(a+b+c)=[()2+()2+()2]≥=18.∴++≥2.答案 25.若a2+b2+c2=2,x2+y2+z2=4,则ax+by+cz的取值范围是__________.解析 ∵(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax
3、+by+cz)2,∴(ax+by+cz)2≤8,∴-2≤ax+by+cz≤2.答案 [-2,2]6.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为________.解析 运用柯西不等式求解.根据柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),得25≤5(m2+n2),m2+n2≥5,的最小值为.答案 三、解答题7.若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值,并求出最小值点.解 由柯西不等式(4x2+9y2)(12+12)≥(2x+3y)2=1,∴4x2+9y2≥.当且仅当2x·1=3y·1,即2x=3y时取等号.由 得∴4
4、x2+9y2的最小值为,最小值点为.8.设a,b∈(0,+∞),若a+b=2,求+的最小值.解 ∵(a+b)=[()2+()2]≥=(1+1)2=4.∴2≥4,即+≥2.当且仅当·=·,即a=b时取等号,∴当a=b=1时,+的最小值为2.9.已知a2+b2=1,a,b∈R,求证:
5、acosθ+bsinθ
6、≤1.证明 ∵(acosθ+bsinθ)2≤(a2+b2)(cos2θ+sin2θ)=1·1=1,∴
7、acosθ+bsinθ
8、≤1.
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