2018年高中数学 几个重要的不等式2.1.1简单形式的柯西不等式活页作业8北师大版

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1、活页作业(八)　简单形式的柯西不等式一、选择题1．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的大小关系是(　　)A．P≤Q　　B．PQ解析：设m＝(x，y)，n＝(，)，则

2、ax＋by

3、＝

4、m·n

5、≤

6、m

7、

8、n

9、＝·＝·＝，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.答案：A2．设x>0，y>0，m>0，n>0，且＋＝1，则u＝x＋y的最小值是(　　)A．(＋)2B．C．D．(m＋n)2解析：根据柯西不等式，得x＋y＝(x＋y)≥2＝(＋)2，当且仅当＝时，等号成立，这时

10、u取最小值为(＋)2.答案：A3．已知x，y∈(0，＋∞)，且xy＝1，则的最小值为(　　)A．4B．2C．1D．解析：＝≥2＝2＝22＝4.答案：A4．已知θ∈R，则4＋cosθ的最大值是(　　)A．2B．3C．D．解析：4＋cosθ≤·＝3，当且仅当4cosθ＝，即sinθ＝±，cosθ＝时等号成立．答案：B二、填空题5．若x＋2y＝5，则x2＋y2的最小值为________.解析：由柯西不等式，得(x2＋y2)(12＋22)≥(x＋2y)2，当且仅当x＝时取等号．所以5(x2＋y2)≥25.所以x2＋y2≥5.答案：56．已知a2＋b2

11、＝4，则

12、acosθ＋bsinθ

13、的最大值是________.解析：因为(acosθ＋bsinθ)2≤(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)＝4，当且仅当asinθ＝bcosθ时等号成立，所以

14、acosθ＋bsinθ

15、≤2.答案：2三、解答题7．已知函数y＝3＋4，求函数的定义域和最大值．解：易知函数的定义域为[5,6]，且y>0.∴y＝3＋4≤·＝5，当且仅当3＝4，即x＝时取等号．故函数的定义域为[5,6]，最大值为5.8．若0

16、C(1,1)，其中点P(x，y)为以1为边长的正方形OBCA内任一点，则＋＋＋＝

17、

18、＋

19、

20、＋

21、

22、＋

23、

24、≥

25、

26、＋

27、

28、＝2.一、选择题1．已知θ为锐角，a，b均为正实数．则下列不等式成立的是(　　)A．(a＋b)2≤＋B．(a＋b)2≥＋C．a2＋b2＝＋D．(a＋b)2<＋解析：设m＝，n＝(cosθ，sinθ)，则

29、a＋b

30、＝≤·＝，当且仅当asin2θ＝bcos2θ时取等号．所以(a＋b)2≤＋.答案：A2．若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形，则长方形ABCD的周长的最大值为(　　)A．2R　　　　　　　B．2RC．4RD．4R解析

31、：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为.于是长方形ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1·x＋1·)．由柯西不等式，得l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2×2R·＝4R，当且仅当x·1＝·1，即x＝R时等号成立．此时，＝＝R，即长方形ABCD为正方形．故周长最大的内接长方形是正方形，其周长为4R.答案：D二、填空题3．函数y＝3sinx＋2的最大值是_________.解析：y＝3sinx＋2＝3sinx＋4≤＝5，当且仅当4sinx＝3时取等号，∴ymax＝5.答案：54．已知x，y均为正数，且x＋y＝2，则x＋4＋4y的最大值为_

32、_______.解析：∵x＋4＋4y＝(＋2)2≤(12＋22)[()2＋()2]＝5(x＋y)＝5×2＝10，当且仅当1·＝2·，即y＝4x(x>0)时等号成立，∴x＋4＋4y≤10.由得x＝，符合x>0.∴x＋4＋4y的最大值为10.答案：10三、解答题5．已知a1，a2，b1，b2为正实数．求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.证明：＝≥2＝(a1＋a2)2.6．已知x，y为正实数，且x＋y＝1，求x2＋y2的值．解：法一　依题意，有0

33、sinβcosα＝sin(α＋β)＝1.∵0<α＋β<π，∴α＋β＝，即β＝－α.∴x2＋y2＝sin2α＋sin2β＝sin2α＋sin2－α＝sin2α＋cos2α＝1.法二　有1＝x＋y≤＝，令t＝x2＋y2(t>0)，则有t(2－t)≥1，即t2－2t＋1≤0⇔(t－1)2≤0.∵t>0，∴t－1＝0，即t＝1.∴x2＋y2＝1.