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1、第一课时一元二次不等式及其解法2.1一元二次不等式的解法理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点三考点二第三章不等式知识点一知识点二§2一元二次不等式2．1一元二次不等式的解法对于两个不等式2x2＋11x－6＞0和10x2＋9x－2≤0.问题1：这两个不等式有哪些共同点？提示：(1)含有一个未知数x；(2)未知数x的最高次数为2.问题3：这两个不等式分别有多少个解？提示：分别都有无穷个解．1．一元二次不等式形如的不等式(其中a0)，叫作一元二次不等式．2．一元二次不等式的解使某个一元二次不等式成立的叫这个一元二次不等式的解．3．一元二次不等式的解集一元二次不等式的，叫作这个
2、一元二次不等式的解集.ax2＋bx＋c＞0(≥0)ax2＋bx＋c＜0(≤0)≠x的值所有解组成的集合或观察函数y＝x2－x－6的图像，回答下列问题．问题1：x在什么范围内取值时，y＝0?提示：x＝－2或x＝3.问题2：x在什么范围内取值时，y＞0?提示：x＞3或x＜－2.问题3：x在什么范围内取值时，y＜0?提示：－2＜x＜3.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式解集之间的关系见下表Δ＝b2－Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像Δ＝b2－Δ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不等的实数根x1，x2有两个相等的实数根x1，x2
3、没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x
4、x＜x1或x＞x2}{x
5、x≠－}RΔ＝b2－Δ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x
6、x1＜x＜x2}∅∅1．从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像在x轴下方的点的横坐标x的集合．2．解一元二次不等式，要先把二次项系数化为正数，再根据判别式的符号确定相应的方程有无实根，最后根据二次函数的图像写出解集．第一课时 一元二
7、次不等式及其解法[例1]解下列一元二次不等式(1)－2x2＋x－6＜0；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x(7－x)＞0;(4)13－9x2＜0.[思路点拨]按照解一元二次不等式的步骤来解．[精解详析](1)原不等式可化为2x2－x＋6＞0，∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6＜0，∴函数y＝2x2－x＋6的图像开口向上，与x轴无交点(如图(1))．∴观察图像可得，不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图像如图(2)所示，根据图像可得，原不等式的解集为{x
8、x＝3}．(3)原不等式可化为x(x－
9、7)＜0，方程x(x－7)＝0的两根是x1＝0，x2＝7，函数y＝x(x－7)的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(0,0)，(7,0)(如图(3))．观察图像可得，不等式的解集为{x
10、0＜x＜7}．[一点通]解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正；(2)确定相应方程的解，或判断方程无实数解．(3)根据一元二次方程解的情况画出对应的二次函数的草图．(4)根据图像写出不等式的解集．1．(2011·晋江高二检测)不等式5－x2＞4x的解集为()A．(－5,1)B．(－1,5)C．(－∞，－5)∪(1，＋∞)D．(－∞，－
11、1)∪(5，＋∞)解析：原不等式可化为x2＋4x－5＜0，即(x＋5)(x－1＜0.∴解集为{x
12、－5＜x＜1}．答案：A③对应方程根的判别式Δ＝82－4×17＜0.故对应二次函数图像开口向上，与x轴无交点．则x2＋8x＋17≥0的解集是R.④原不等式可化为2x2－3x＋3＜0，对应方程根的判别式Δ＝(－3)2－4×2×3＜0，则不等式的解集为∅.答案：C3．解不等式：－2x2＋x＋1＜0.[例2]解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0(a∈R)．[思路点拨]首先将不等式的左边因式分解，求出相应方程的两根，讨论两根的大小关系，写出解集．[精解详析]原不等式转化为(x－2a)(x＋
13、a)＜0，对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.(1)当a＞0时，x1＞x2，不等式的解集为{x
14、－a＜x＜2a}；(2)当a＝0时，原不等式化为x2＜0，无解；(3)当a＜0时，x1＜x2，不等式的解集为{x
15、2a＜x＜－a}．综上所述，原不等式的解集为：a＞0时，{x
16、－a＜x＜2a}；a＝0时，∅；a＜0时，{x
17、2a＜x＜－a}．[一点通]1.熟练掌握一元二次不等式的解法是解决不等式问题的基础，所以应当能够熟练记住形如ax2＋bx＋c＞0(＜0)(a＞0)的不等
