第1章控制系统的数学模型ppt课件.ppt

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1、第1章控制系统数学模型本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因此，本章首先介绍控制系统的数学模型。本章内容为：1、状态空间表达式2、由微分方程求出系统状态空间表达式3、传递函数矩阵4、离散系统的数学模型5、线性变换6、组合系统的数学描述1.1状态空间表达式1.1.1状态、状态变量和状态空间状态——动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。状态变量——确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量在任意初始时刻的值以及的系统输

2、入，便能够完整地确定系统在任意时刻的状态。（状态变量的选择可以不同）≥状态空间——以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称为状态空间。例：如下图所示电路，为输入量，为输出量。建立方程：初始条件：和可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量1.1.2状态空间表达式前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：该方程描述了电路的状态变量和输入量之间的关系，称为该电路的状态方程，这是一个矩阵微分方程。如果将电容上的电压作为电路的输出量，则该方程是联系输出量和状态变量关系的方程，称为该电路的输出方程或观测方程。这是一个矩阵代数方

3、程。系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。设：则可以写成状态空间表达式：推广到一般形式：如果矩阵A,B,C,D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系统为线性定常（LTI，即：LinearTime-Invariant）系统。如果这些元素中有些是时间t的函数，则称系统为线性时变系统。严格地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的状态方程和输出方程表示。如果不显含t，则称为非线性定常系统。1.1.3状态变量的选取（1）状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定（2）状态变量选取的非惟一性（3）系统状态

4、变量的数目是惟一的在前面的例子中，如果重新选择状态变量则其状态方程为输出方程为：1.1.4状态空间表达式建立的举例例1-1建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块m的重量已经和弹簧k的初始拉伸相抵消）根据牛顿第二定律即：选择状态变量则：机械系统的系统方程为该系统的状态图如下1.2由微分方程求状态空间表达式一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。这里分两种情况：1、微分方程中不含输入信号导数项，（即1.2.1中的内容）2、微分方程中含有输入信号导数项，（即1.2.2中的内容）1.2

5、.1微分方程中不含有输入信号导数项首先考察三阶系统，其微分方程为选取状态变量则有写成矩阵形式状态图如下：一般情况下，n阶微分方程为：选择状态变量如下：┆写成矩阵形式：系统的状态图如下：1.2.2微分方程中含有输入信号导数项首先考察三阶系统，其微分方程为（一）待定系数法选择状态变量：其中，待定系数为：于是写成矩阵形式系统的状态图一般情况下，n阶微分方程为：选择n个状态变量为系统方程为系统状态图如下（二）辅助变量法设n阶微分方程为：Laplace变换，求传递函数引入辅助变量z返回到微分方程形式：以及选择状态变量如下：┆写成矩阵形式注：如果输入项的导数阶

6、次和输出项导数阶次相同，则有d。例1-4已知描述系统的微分方程为试求系统的状态空间表达式。解（1）待定系数法选择状态变量如下其中于是系统的状态空间表达式为（2）辅助变量法引入辅助变量z选择状态变量于是系统的状态空间表达式为1.3传递函数矩阵传递函数——系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。1.3.1传递函数单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为在初始松弛时，求Laplace变换，并且化简状态变量对输入量的传递函数输出量对输入量的传递函数（即：传递函数）例1-5系统状态方程式为求系统传递函数。解：1.3.2

7、传递函数矩阵状态空间表达式为进行拉普拉斯变换如果存在，则如果，则状态变量对输入向量的传递函数矩阵：而状态变量对输入向量的传递函数矩阵：其结构为式中，表示只有第j个输入作用时，第i个输出量对第j个输入量的传递函数。例1-7线性定常系统状态空间表达式为求系统的传递函数矩阵。解1.3.3正则（严格正则）有理传递函数（矩阵）如果当时，是有限常量，则称有理函数是正则的。若，则称是严格正则的。非正则传递函数描述的系统在实际的控制工程中是不能应用的，因为这时系统对高频噪声将会大幅度放大。例如微分器为非正则系统，假如输入信号带有高频污染经过微分器输出可见，在微分器

8、输入端，噪声的幅值只是有效信号幅值的百分之一，输出端噪声的幅值却是有效信号幅值的10倍，信噪比变得很小。1.3.4闭环系统