第7讲 向量线性相关性与秩ppt课件.ppt

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1、一.n维向量空间分量为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，1.n维向量定义：n个有次序的数所组成的有序数组称为一个n维向量。这n个数称为该向量的n个分量，第个数称为第个分量。以后我们用小写希腊字母来代表向量。例如：n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量向量通常写成一行：有时也写成一列：称为行向量。称为列向量。分量全为零的向量称为零向量。2.向量的运算和性质向量相等：如果n维向量的对应分量都相等，即就称这两个向量相等，记为向量加法：向量称为向量的和，记为负向量：向量称为向量的负向量向量减法：数乘向量

2、：设k为实数，向量称为向量与数k的数量乘积。记为满足运算律：注：（1）对任意的向量存在唯一的零向量使得（2）对任意的向量存在唯一的负向量使得（4）如果则（3）确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量的实际意义若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用．思考题若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做

3、向量组．例如一、线性表示向量组,,…，　称为矩阵A的行向量组．反之，由有限个同维的向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.线性方程组向量间的线性运算关系：方程1加方程2可以消去方程3，说明方程3多余．定义１线性方程组的向量表示满足注意定义2则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．二、线性相关性的概念线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．定理2　向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有三、线性相关性的判定故因这个

4、数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数　　　　　　使因中至少有一个不为0，不妨设　　　则有即能由其余向量线性表示.证毕.线性相关性在线性方程组中的应用结论解例１证定理4说明１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；２.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）３.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）四、小结思考题证明（１）、（２）略．（３）充分性必要性思考题解答1.向量组等价定义：如果向量组中的每一个向量都可以由向量组线性表

5、示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。若同时向量组B也可以由向量组A线性表示，即就称向量组A与向量组B等价。定理：设与是两个向量组，如果(2)则向量组必线性相关。(1)向量组线性表示；可以由向量组推论1：如果向量组可以由向量组线性表示，并且线性无关，那么推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。2.极大线性无关组定义:注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.简称极大无关组。对向量组A，如果在A中有r个向量满足：（2）任意r＋1个向量都线性相关（如果有的话）线性无关；（1）那么称部分组为向量组的一个极

6、大线性无关组。（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。例如：在向量组中，首先线性无关，又线性相关，所以组成的部分组是极大无关组。还可以验证也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大无关组都是等价的。由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。定理：一个向量组的任一向量都能由它的极

7、大无关组线性表示3.向量组的秩定义2：向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记作例如：向量组的秩为2。（4）等价的向量组必有相同的秩。关于向量组的秩的结论：（1）零向量组的秩为0。（2）向量组线性无关向量组线性相关（3）如果向量组可以由向量组线性表示，则注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。4.矩阵的秩例1解定理4.矩阵与向量组的秩的关系１．最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性．２．矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向

8、量组的秩＝矩阵行向量组的秩３．关于向量组秩的一些结论四、小结