《线性相关性与秩》PPT课件.ppt

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1、2.相关性的判定定理定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关，则整个向量组也必定线性相关。推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关。解：解：证明定理4.写成分量形式为(j=1,2,…,n)对A作初等变换考虑A的r+1阶子式按向量形式写，上式为：0推论1：当m>n时，m个n维向量线性相关。推论2：任意m个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的矩阵A=的秩r(A)=m。推论3：任意n个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式不等于零。或r(A)=n.推论4：任意n个n维向量线性相关的充要条件是由它们构成的方

2、阵A的行列式等于零。或r(A)

3、个极大线性无关组，简称极大无关组。极大无关组的含义有两层：1无关性;2.极大性.1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;2.向量组与其极大无关组等价;3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是等价的.注:例:求向量组的极大无关组.一个向量组只要含有非零向量,则一定有极大线性无关组极大线性无关组一般不唯一,但是它们所含向量个数是否相等极大无关组的性质定理1：设有两个n维向量组若向量组(I)线性无关，且可由向量组(II)线性表示，则rs.证：设推论1：若向量组性表示，且r>s,则向量组线推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等

4、。定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等。向量组的秩定义：向量组的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩，记为注：（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。（2）向量组线性无关秩=向量个数。定理3：r(0)=0推论：等价的向量组有相同的秩。必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。=n例1：设向量组线性表示,求例2：设有两个n维向量组若你能举一个反例吗？上面的结论需要记住,并应用如果线性无关,则下列向量组线性无关的为√作用:利用向量组的等价性(向量组的秩)讨论相关性定理4：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。行秩：矩阵行

5、向量组的秩；列秩：矩阵列向量组的秩。推论：矩阵的行秩与列秩相等。这实际上给出了一个求向量组秩的方法：先将向量组构成一个矩阵，然后求矩阵的秩，这个秩就是向量组的秩。例1：求向量组的秩。解：向量组的秩的求法极大无关组的求法逐个考察法︼︼列摆行变换法。例2：求向量组的秩及极大无关组。列摆行变换将矩阵化为梯形阵后，秩即求出来了。这时，只要在同一高度上取一个向量，即可得到极大无关组。如上例，求秩及一个极大无关组。矛盾反例：但，行摆行变换不行！我们已经看到：用矩阵可以解决向量组的问题，实际上，用向量组也可以解决矩阵的问题。一个最典型的例子是：这是一个非常重要

6、的关于秩的不等式！设有n两个维向量组若这又是一个非常有用的公式。