线性代数课件3-4矩阵秩与向量组秩的关系.ppt

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1、第四节矩阵秩与向量组秩的关系按行分块得到将该矩阵按列分块得到称为A的行向量组称为A的列向量组定义9矩阵A的行向量组的秩成为A的行秩，A的列向量组的秩称为A的列秩。矩阵A的秩与其行秩和列秩有什么关系呢？先看一个例子此矩阵为具有4个非零行的B-型矩阵显然B的列向量组线性无关，并且故是B的列向量组的极大无关组。B的列秩＝B的秩＝r一般的，对有r个非零行的B-型阶梯型矩阵，有B的列秩＝B的秩＝4引理设矩阵A经过行初等变换化为B，分别记为：之间有完全相同的线性关系，即则A的列向量组与B的列向量组当且仅当证因为矩阵A经过行初等变换化为B，A的列向量组与B的列向量组等价，也就是说齐次线性方程组AX=0与BX

2、=0同解，即有相同的线性相关性。于是知列向量组与同解与定理5矩阵的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。证设矩阵B是与之对应的B-型阵设A的r阶非零子式下证A的列向量组的秩为r所在的r列构成的矩阵为显然即B的r个列向量线性无关，而A的任意r+1列所构成的矩阵的秩小于等于所以A的任意r+1列向量线性相关，因此，B的r个列向量为矩阵A的列向量组的极大无关组。所以A的列秩等于r。故：A的秩=A的行秩=A的列秩的列向量组，又因为A的行向量组就是例1设向量组求该向量组的极大无关组，并把其余向量由极大无关组线性表示。解：以为列构造矩阵A，并利用初等行变换把A化成行简化型阶梯矩阵B所以故列向量组的秩为2，即列向量

3、组的极大无关组含有2个向量，显然，为矩阵B的列向量组的极大无关组则是向量组的极大无关组，且显然有：对于这道题我们可以直接用数学软件MATLAB来计算向量组的秩和极大无关组，并把其余向量由极大无关组线性表示%求向量组的秩、极大无关组A=[145-10;-2-14-1;5-2-1916;-3315-15];rref(A)%************运行结果************ans=10-32012-300000000课后作业：P147：8（4）并试用数学软件MATLAB来解次题