线性代数课件3-4矩阵秩与向量组秩的关系

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1、第四节矩阵秩与向量组秩的关系1课件按行分块得到2课件将该矩阵按列分块得到3课件称为A的行向量组称为A的列向量组定义9矩阵A的行向量组的秩成为A的行秩，A的列向量组的秩称为A的列秩。矩阵A的秩与其行秩和列秩有什么关系呢？4课件先看一个例子此矩阵为具有4个非零行的B-型矩阵5课件显然B的列向量组线性无关，并且故是B的列向量组的极大无关组。6课件B的列秩＝B的秩＝r一般的，对有r个非零行的B-型阶梯型矩阵，有B的列秩＝B的秩＝4引理设矩阵A经过行初等变换化为B，分别记为：7课件之间有完全相同的线性关系，即则A的列向量组与B的列向量组当且仅

2、当证因为矩阵A经过行初等变换化为B，A的列向量组与B的列向量组等价，也就是说齐次线性方程组AX=0与BX=0同解，即8课件有相同的线性相关性。于是知列向量组与同解与9课件定理5矩阵的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。证设矩阵B是与之对应的B-型阵设A的r阶非零子式下证A的列向量组的秩为r所在的r列构成的矩阵为10课件显然即B的r个列向量线性无关，而A的任意r+1列所构成的矩阵的秩小于等于所以A的任意r+1列向量线性相关，因此，B的r个列向量为矩阵A的列向量组的极大无关组。所以A的列秩等于r。11课件故：A的秩=A的行秩=A的列秩的列向

3、量组，又因为A的行向量组就是例1设向量组12课件求该向量组的极大无关组，并把其余向量由极大无关组线性表示。解：以为列构造矩阵A，并利用初等行变换把A化成行简化型阶梯矩阵B13课件14课件15课件16课件所以故列向量组的秩为2，即列向量组的极大无关组含有2个向量，显然，17课件为矩阵B的列向量组的极大无关组则是向量组的极大无关组，且显然有：18课件对于这道题我们可以直接用数学软件MATLAB来计算向量组的秩和极大无关组，并把其余向量由极大无关组线性表示%求向量组的秩、极大无关组A=[145-10;-2-14-1;5-2-1916;-3

4、315-15];rref(A)%************运行结果************ans=10-32012-30000000019课件课后作业：P147：8（4）并试用数学软件MATLAB来解次题20课件