3向量组与矩阵的秩.ppt

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1、第三章向量组与矩阵的秩第一节n维向量第二节　线性相关与线性无关第三节　线性相关性的判别定理第四节　向量组的秩与矩阵的秩第五节　矩阵的初等变换第六节　初等矩阵与求矩阵的逆第七节　向量空间§1n维向量返回上一页下一页定义1设P是由一些复数组成的集合,其中包括0与1.如果P中任意两个数(这两个数可以相同)的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域.显然,全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域。这三个数域一般分别用字母Q、R、C来表示.全体整数组成的集合不是数域.用小写的粗黑体字母来表示向量。返回上一页下一页定义2数域P中n个

2、数组成的有序数组（a1,a2,…,an）称为P上一个n维向量，简称向量。列向量行向量数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量都是复数的向量称为复向量。n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量也常看成n×1矩阵。设k和l为两个任意的常数，为任意的n维向量，其中返回上一页下一页定义3如果和对应的分量都相等，即ai=bi，i=1,2,…,n就称这两个向量相等，记为。定义4向量（a1+b1,a2+b2,…,an+bn）称为与的和，记为。称向量（ka1,ka2,…,kan）为与k（k∈P）的数量乘积，简称数乘，

3、记为返回上一页下一页定义5分量全为零的向量（0，0，…，0）称为零向量，记为0。与-1的数乘（-1）=（-a1,-a2,…,-an）称为的负向量，记为。向量的减法定义为返回上一页下一页满足（1）—（8）的运算称为线性运算。返回上一页下一页向量的加法与数乘性质§2线性相关与线性无关矩阵与向量的关系：通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行向量组可以排列成一个s×n分块矩阵其中为由A的第i行形成的子块，称为A的行向量组。n维列向量组可以排成一个n×s矩阵其中为由B的第j列形成的子块，称为B的列向量组。返回上一页下一页定义6向量组称为线性相关的，如果有P中不全为零的数k

4、1,k2,…,ks，使反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就称线性无关。返回上一页下一页当是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使当为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵，使返回上一页下一页定义7向量α称为向量组β１,β２，…，βt的一个线性组合，或者说α可由向量组β１，β２，…，βt线性表出(示)，如果有P中（经常省略P中）常数k１，k２,…，kt使α＝k１β１＋k２β２+…＋ktβt.此时，也记.若所给向量均为行向量，则有若所给向量均为列向量，则有返回上一页下一页也可用矩阵形式表示：例判断向量组的线性相关

5、性。解假设存在一组常数k1,k2,…,kn使得所以即k1=k2=…=kn=0因此线性关。返回上一页下一页称为基本单位向量.解对任意的常数k１，k２，k3都有k１α１+k２α２+k3α3=(k１+k3，k１+2k２+3k3，k１+5k２+6k3).例判断向量组α１＝（１，１，１），α２＝（０，２，５），α3＝（１，３，６）的线性相关性.所以k１α１+k２α２+k3α3=0当且仅当返回上一页下一页由(1)得将其分别代入(2)和(3)得取定得方程组的一组解为:k1=1，k2=1，k3=-1因此１α１+1α２+(-1)α3=α１+α２-α3=0.所以α１，α２，α3线性相关.返回

6、上一页下一页例设向量组线性无关，，，，试证向量组也线性无关。证对任意的常数x1,x2,x3都有由线性无关，故有由于上述方程组的解只有k1=k2=k3=0所以线性无关。返回上一页下一页设有k1,k2,k3，使例设α１=(1,1,1,1),α２=(1,1,-1,-1),α3=(1,-1,1,-1),α4=(1,-1,-1,1),β=(1,2,1,1).试问β能否由α１,α２,α3,α4线性表出？若能，写出具体表达式.解令β=k１α１+k２α２+k3α3+k4α4于是得线性方程组因为返回上一页下一页由克莱姆法则求出所以即β能由α１，α２，α3,α4线性表出.返回上一页下一页例设

7、α=(2,-3,0),β=(0,-1,2),γ=(0,-7,-4),试问γ能否由α,β线性表出?由第一个方程得k１=0，代入第二个方程得k２=7，但k２不满足第三个方程，故方程组无解.所以γ不能由α,β线性表出.解设γ=k１α+k２β于是得方程组返回上一页下一页定理1向量组（s≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。证充分性：设中有一个向量能由其他向量线性表出，不妨设所以线性相关。必要性：如果线性相关，就有不全为零的数k1,k2,…,ks，使设k1≠0,那么即能由线性表出。返回上一页下一页例如，向量组