实验2矩阵的秩与向量组的极大无关组

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项目五矩阵运算与方程组求解实验2矩阵的秩与向量组的极大无关组实验目的学习利用Mathematica求矩阵的秩，作炬阵的初等行变换；求向量组的秩与极大无关组.基本命令1.求矩阵M的所有可能的k阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].2.把矩阵4化作行最简形的命令:RowReduce[A].3.把数表1擞表2,…,合并成一个数表的命令:Join[listl,list2,…].例如输入Join[{{l,0,-l},{3,2,l}},{{l,5},{4,6}}]则输岀{{1Q-1},{3,2,1},{1,5},{4.6}}实验举例求矩阵的秩‘32-1-3-2、例2.1(教材例2.1)设M=2-131-3,求矩阵M的秩.、705-1-8J输入Clear(M);M={{3,2,—1-3-2},{2,—1,3,13},{7,0,5-1,-8}};Minors|M,21则输出{{-7,11.9-5,5-1-8,8,9,11),1-14,22,18-10,10-2,-16,16,1&22)47-11-9,5-5,1,8-8-9-11)}可见矩阵M有不为0的二阶子式.再输入Minors]M,31则输出{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}可见矩阵M的三阶子式都为0.所以r(M)=2.<32-1-3、例2.2已知矩阵M=2-131的秩等于2,求常数f的值. 70t-1左上角的二阶子式不等于0.三阶子式应该都等于0.输入Clear(M);M二{{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0」,-1}};Minors]M,3]输出为{{35・7t,45・9t,・5+t}}当t=5Ibf,所冇的三阶子式都等于().此时矩阵的秩等于2.<6410147、1例2.3(教材例2.2)求矩阵15-90的行绘简形及其秩.-13-16-12X-4223丿输入A二{{6丄1,7},{4,0,4,1},{1,2-9,0},{—1,3,—16,—1},{2,722,3})MatrixForm[A]RowRcducc[A]//MatrixForm则输出矩阵人的行最简形‘1010、01-5000010000、0000,根据矩阵的行放简形，便得矩阵的秩为3.矩阵的初等行变换命令RowfRcducc[A]把矩阵A化作行最简形.用初等行变换町以求矩阵的秩与矩阵的逆.(2-382、例2.4设A=212-212，求矩阵人的秩.J314/输入Clcar[A];A=({2,-3,8,2},{2,12,-2,12),{1,3,1,41)；RowReduce[A]//MatrixForm 输出为10322201一一一33〔0000丿因此A的秩为2."123、例2.5(教材例2.3)用初等变换法求矩阵221的逆矩阵.,343,输入A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}MatrixForm[AlTranspose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixFormRowRcduce[%]//MatrixFormInverse[A]//MatrixForm则输出矩阵q的逆矩阵为'13-2、-3/2-35/2<111>向量组的秩矩阵的秩与它的行向量组，以及列向量组的秩相等，因此可以用命令RowReduce求向量组的秩.例2.6求向量组=(1,2,-1,1),如=(0-4,5-2),=(2,0,3,0)的秩.将向量写作矩阵的行，输入Clear[AJ;A={{1,2,-1,1),{0,-4,5,-2),{2,0,3,0)};RowReduce[A]//MatrixForm则输出(3、10-0201--丄520000这里冇两个非零行，矩阵的秩等于2・因此，它的行向量组的秩也等于2.例2.7(教材例2.4)向量组丙=(1,1,2,3),勺=(1,-1，1，】),如=(1,3,4,5)04=(3,1,5,7)是否线性相 关？输入Clcar[A];A二{{1,1,2,3},{1,—1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}};RowReduce[A]//MatrixForm则输出‘1002、01010010000丿向量组包含四个向量，而它的秩等于3,因此，这个向量组线性相关.例2.8向量组a】=(2,2,7),勺=(3,-1,2),^=(1,1,3)是否线性相关?输入CIear[AJ;A二{{2.2,7},{3,-1,2},{1,1,3}};RowReduce[A]//MatrixForm则输出"00、010<0ob向量组包含三个向量，而它的秩等于3,因此，这个向最组线性无关.向量组的极大无关组例2.9(教材例2.5)求向量组=(1,-1,2,4),色=(0,3,1,2),為=(3,0,7,14),色=(1,-1,2,0),色=(2,1,5,0)的极大无关组，并将其它向量用极大无关组线性表示.输入Clear[A,B];A二{{1,-1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,-1,2,0},{2,1,5,0}};B=Transpose|A];RowReduce[B]//MatrixForm则输出<1030-1/2、01101 00015/2<0000 在行最简形屮冇三个非零行，因此向fit组的秩等于3.非零行的首元索位于第一、二、四列，因此创©2，口是向量组的一个极大无关组.第三列的前两个元索分别是3,1,于是a3=3G|+勺•第五列的前三个九索分别是-于是冬=一舟內+。2+"|。4・LLZL向最组的等价町以证明:两个向鼠组等价的充分必要条件是：以它们为行向鼠构成的矩阵的行最简形具冇相同的TE零行，因此，还可以用命令RowReduce证明网个向呈组等价.例2.10设向量5=(2,1,-1,3),勺=(3,-2,1,-2),0i=(-5,&-5,⑵,角=(4,-5,3,-7),求证:向量组Q],Q2与01，02等价•将向量分别写作矩阵A,B的行向量，输入Clear[A,B]；A={{2,1,-1,3),{3,-2,1,-2});B二{{・5,8,・5,12},{4,・5,3,・7}};RowReduce[A]//MatrixFormRowReduce[B]//MatrixForm则输出7777两个行最简形相同，因此两个向量组等价.实验习题I.求矩阵"3i2-1210、-24-2006-111421」的秩.r132、 2.求/，使得矩阵A二2-13的秩等于2.：32°3.求向量组a】=(0,0,1),如=(0,1,1),冬=(1,1,1)"4=(1,0,0)的秩.4.当t取何值时，向量组4=(l,l,l)s=(1，2,3)心=(1,3,0的秩最小?5.向量组血=(1,1,1,1),他=(1,-1,-1,1),如=(1,-1,1,-1),s=(1,1,-1,1)是否线性相关?6.求向量组创=(1,2,3,4),勺=(2,3,4,5),旳=(3,4,5,6)的最大线性无关组.并用极大无关组线性农示其它向量.7.设向虽务=(一1,3,6.0),a?=(&3,—3,18),0]=(3,0,—3,6),02=(2,3,3,6),求证:向鼠组a〕,a?与0i，02等价.