向量组的极大无关组与向量空间

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主要内容:一．等价向量组二．向量组的极大线性无关组三．向量组的秩与矩阵秩的关系第3.4节向量组的极大线性无关组 一、等价向量组若同时向量组B也可以由向量组A线性表示，就称向量组A与向量组B等价。即表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。定义1：如果向量组中的每一个向量都可以由向量组线性 等价向量组的基本性质:定理：设与是两个向量组，如果:(2)则向量组必线性相关。推论1：如果向量组可以由向量组线性表示，并且线性无关，那么推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。(1)向量组线性表示；可以由向量组 二、向量组的极大线性无关组定义2:注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组(零向量线性相关)。简称极大无关组。对向量组A，如果在A中有r个向量满足：线性无关。（1）那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组。（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示。（2）向量组A中每一个向量均可有线性表示。 例如：在向量组中，首先线性无关，又线性相关，所以组成的部分组是极大无关组。还可以验证也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。 极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大无关组都是等价的。由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得定理：一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。 三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩,记作例如：向量组的秩为2。1.向量组的秩 （4）等价的向量组必有相同的秩。关于向量组的秩的结论：（1）零向量组的秩为0。（2）向量组线性无关向量组线性相关（3）如果向量组可以由向量组线性表示，则注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。 2.矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。例如：矩阵的行向量组是 可以证明，是A的行向量组的一个极大无关组，因为，由即可知即线性无关；而为零向量，包含零向量的向量组线性相关，线性相关。所以向量组的秩为3，所以矩阵A的行秩为3。 矩阵A的列向量组是可以验证线性无关，而所以向量组的一个极大无关组是所以向量组的秩是3，所以矩阵A的列秩是3。 问题：矩阵的行秩＝矩阵的列秩引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。（列）（列）证：把按行分块，设（1）对换矩阵A的两行A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变，所以矩阵A的行秩不变。（2）用非零常数k乘以A的第i行 显然，向量组可以由向量组线性表示；的行秩＝的行秩，即A的行秩不变。而向量组也可以由向量组线性表示。所以矩阵的行向量组与的行向量组等价，又等价的向量组有相同的秩， （3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变，所以矩阵的行秩不变。显然，中的行向量组可以由的行向量组线性表示.而的行向量组可以由中的行向量组线性表示. 引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。（列）（行）证：设矩阵A经过初等行变换变为B，即存在有限个初等矩阵使得令则把按列分块,设不妨设A的列向量组的极大无关组为（可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变）.则 下面证明A的列向量组的极大无关组经过初等行变换变为是矩阵B的列（1）先证线性无关。设数使得成立因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。又线性无关线性无关。向量组的极大无关组。 （2）再证B的列向量组中任一向量可由向量组线性表示。是A的列向量组的极大无关组所以对于A中任一列向量都存在数使得等号两边左乘P有由(1)(2)可知是B的列向量组的一个极大无关组。所以，B的列秩＝r＝A的列秩 综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩证：任何矩阵A都可经过初等变换变为形式，而它的行秩为r，列秩也为r。又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，所以，A的行秩＝r＝A的列秩定义5：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。记为r(A),或rankA，或秩A。推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数从而，矩阵A的秩＝矩阵A的行向量组的秩＝非零行的行数.求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。 解：看行秩例2：求上三角矩阵的秩 看的线性相关性：线性无关，维数增加后得到的依然线性无关，而与都线性无关，所以矩阵的秩＝行向量组的秩＝3＝非零行的行数 求向量组的秩、极大无关组的步骤:（1）向量组作列向量构成矩阵A。（2）初等行变换（行最简形矩阵）r(A)=B的非零行的行数（3）求出B的列向量组的极大无关组（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组即为A的极大无关组。引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。（列）（行） 例4：向量组求向量组的秩和一个极大无关组。解： 又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组所以，是的一个极大无关组。考虑：是否还有其他的极大无关组？与 例5：求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。解：设则B的1，2列为极大无关组，且所以为所求的一个极大无关组，且 2.3矩阵秩的性质(1)等价的矩阵，秩相同。(2)任意矩阵有(3)任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。可逆，有(4)当AB=0时，有 3.矩阵的秩与行列式的关系定理:n阶方阵A，即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵）A的n个行（列）向量线性无关A的n个行（列）向量线性相关 主要内容:一．向量空间的概念二．向量空间的基与维数三．向量在基下的坐标四．思考练习题第3.5节向量空间 一、向量空间的概念说明:n维向量的全体，也是一个向量空间。定义1：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间．集合V对于加法及数乘两种运算封闭指例1：3维向量的全体是一个向量空间。 例2:判别下列集合是否为向量空间.解：所以，是向量空间。(2)不是向量空间。 是否为向量空间.（这个向量空间成为由向量a，b生成的向量空间）一般地，由向量组所生成的向量空间为例3：设a，b为两个已知的n维向量，判断集合解：所以V是一个向量空间。 二、向量空间的基与维数且满足:线性无关。（1）（2）V中任一向量都可由线性表示，那么,就称向量组是向量空间V的一个基，r称为为向量空间V的维数,记作dimV＝r并称V是r维向量空间。注（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。（2）如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。（3）向量空间的基不唯一。定义2：设V是向量空间，如果r个向量 例4 解： 定义3：设向量空间V的基为，对于,在基下的坐标（列向量）．表示式唯一,称为三、向量在基下的坐标注：为n维向量，在V基下的坐标为r维列向量。 四、思考练习题 解答