向量组的极大无关组与向量空间

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1、主要内容:一．等价向量组二．向量组的极大线性无关组三．向量组的秩与矩阵秩的关系第3.4节向量组的极大线性无关组一、等价向量组若同时向量组B也可以由向量组A线性表示，就称向量组A与向量组B等价。即表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。定义1：如果向量组中的每一个向量都可以由向量组线性等价向量组的基本性质:定理：设与是两个向量组，如果:(2)则向量组必线性相关。推论1：如果向量组可以由向量组线性表示，并且线性无关，那么推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。(1)向量组线性表示；可以由向

2、量组二、向量组的极大线性无关组定义2:注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组(零向量线性相关)。简称极大无关组。对向量组A，如果在A中有r个向量满足：线性无关。（1）那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组。（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示。（2）向量组A中每一个向量均可有线性表示。例如：在向量组中，首先线性无关，又线性相关，所以组成的部分组是极大无关组。还可以验证也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。极大无关组的

3、一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大无关组都是等价的。由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得定理：一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩,记作例如：向量组的秩为2。1.向量组的秩（4）等价的向量组必有相同的秩。关于向量组的秩的结论：（1）零向量组的秩为0。（2）向量组线性无关向量组线性

4、相关（3）如果向量组可以由向量组线性表示，则注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。2.矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。例如：矩阵的行向量组是可以证明，是A的行向量组的一个极大无关组，因为，由即可知即线性无关；而为零向量，包含零向量的向量组线性相关，线性相关。所以向

5、量组的秩为3，所以矩阵A的行秩为3。矩阵A的列向量组是可以验证线性无关，而所以向量组的一个极大无关组是所以向量组的秩是3，所以矩阵A的列秩是3。问题：矩阵的行秩＝矩阵的列秩引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。（列）（列）证：把按行分块，设（1）对换矩阵A的两行A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变，所以矩阵A的行秩不变。（2）用非零常数k乘以A的第i行显然，向量组可以由向量组线性表示；的行秩＝的行秩，即A的行秩不变。而向量组也可以由向量组线性表示。所以矩阵的行向量组与的行向量组等价，又等价的向量组有

6、相同的秩，（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变，所以矩阵的行秩不变。显然，中的行向量组可以由的行向量组线性表示.而的行向量组可以由中的行向量组线性表示.引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。（列）（行）证：设矩阵A经过初等行变换变为B，即存在有限个初等矩阵使得令则把按列分块,设不妨设A的列向量组的极大无关组为（可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变）.则下面证明A的列向量组的极大无关组经过初等行变换变为是矩阵B的列（1）先证线性无关。设数使得成立因为P为初等

7、矩阵的乘积，所以P可逆。又线性无关线性无关。向量组的极大无关组。（2）再证B的列向量组中任一向量可由向量组线性表示。是A的列向量组的极大无关组所以对于A中任一列向量都存在数使得等号两边左乘P有由(1)(2)可知是B的列向量组的一个极大无关组。所以，B的列秩＝r＝A的列秩综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩证：任何矩阵A都可经过初等变换变为形式，而它的行秩为r，列秩也为r。又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，所以，A的行秩＝r＝A的列秩定义5：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵

8、的秩。记为r(A),或rankA，或秩A。推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数从而，矩阵A的秩＝矩阵A的行向量组的秩＝非零行的行数.求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。解：看行秩例2：求上三角矩阵的秩看的线性相关性：线性无关，维数增加后得到的依然线性无关，而与都线性无关，所以矩阵的秩＝行向