向量组的秩和矩阵的秩

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1、第四节向量组的秩和矩阵的秩一、向量组的秩定义3.8设有两个向量组如果向量组(Ⅰ)的每一个向量都可以由向量组(Ⅱ)表出，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出(线性表示)；如果向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)可以相互线性表出，则称向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)等价，记作或例1设向量组不难看出：即向量组(Ⅱ)可以由向量组(Ⅰ)线性表出。由此又可解出即向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出。于是向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)等价。考虑向量组则向量组(Ⅲ)可由向量组(Ⅰ)线性表示：故向量组(Ⅰ)不能由向量组(Ⅲ)线性表示。于是向量组(Ⅰ)、(Ⅲ)不等价。但向量不能由

2、线性表示。向量组等价具有下述性质：(1)反身性任一向量组和它自身等价，即(2)对称性如果则(3)传递性如果则而定理3.7如果向量组可由向量组线性表示，并且s>t，则向量组线性相关。推论如果向量组线性无关，并且可以由向量组线性表示，则二、极大线性无关组和向量组的秩定义3.9如果向量组的一个部分组满足(1)线性无关；(2)向量组中的任意一个向量都可以由线性表示，则部分组称为此向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组。(2)’任意向量组中的一个向量添到部分组中，则线性无关。例2设向量组不难看出，部分组是线性无关的，且中的任一向量都

3、可以由此部分组线性表示：所以部分组是向量组的一个极大无关组。例3设向量组线性无关，其极大无关组就是自身。如果一个向量组仅含零向量，则该向量组不存在极大无关组。定理3.8任一向量组和它的极大无关组等价。推论1向量组中任意两个极大线性无关组等价。推论2两个等价的线性无关的向量组所包含的向量的个数相同。推论3向量组的任意两个极大无关组所包含向量的个数相同。定义3.10向量组的极大无关组中所包含向量的个数，称为次向量组的秩，记作若一个向量组仅含零向量，规定其秩为零。例4对于例2中的向量组有例5则仅含的向量组必线性无关，其极大无关组就是

4、其本身，所以设向量定理3.9则它们的秩相等。如果向量组与向量组等价，定理3.10如果向量组可由向量组线性表示，且，则三、矩阵的秩定义3.11在m×n矩阵中任取k行、k列位于这些行、列交叉处的k2个元素按原来的相应位置构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。例6在矩阵中若取定A的第1行和第2列，交叉处元素可构成一阶子式若取定第1行、第2行，再取定第2列、第4列，可构成二阶子式在例6中，已求得一个二阶子式不等于零。由于A的第三行为零行，所以A的任意三阶子式都等于零，所以r(A)=2.定义3.12设，A中不等于零的子式的最高

5、阶数r称为矩阵A的秩，记作(A)=r或r(A)=r，即A中存在一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式都等于零时，r(A)=r.对于零矩阵它的任一子式都等于零。规定r(O)=0.例7注意到例6中，矩阵A是一个阶梯形矩阵，A的秩恰等于它的非零行的行数，一般，这一结论也是正确的。矩阵的秩有下述性质：特别地，当r(A)=m时，称A为行满秩矩阵；当r(A)=n时，称A为列满秩矩阵。当时，称矩阵A为满秩矩阵。定理3.11矩阵经初等行变换后，其秩不变。例9设矩阵求A的秩。解对A施以初等行变换，化为阶梯形矩阵：由最后一个矩阵，有三阶子阵而所

6、有四阶子阵都等于0，得r(A)=3.如果继续对A施以初等列变换，A就可以化为等价标准形同样得到r(A)=3.由定理3.11，得推论设A为m×n矩阵，其中均为可逆矩阵，则定理3.12设A,B均为m×n矩阵，则矩阵A,B等价充分必要条件是四、矩阵的秩与向量组的秩的关系设矩阵如果A按行分块为则向量组的秩称为矩阵A的行秩。如果A按列分块为，其中则列向量组的秩称为矩阵A的列秩。定理3.13矩阵的秩等于A的秩。推论矩阵的行秩和列秩相等，都等于矩阵的秩。例10已知向量组试求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。解把向量

7、看作一个矩阵的行向量组，得矩阵对A仅施以初等行变换，并在矩阵右侧标注所作的变换，把A化为阶梯形矩阵：由最后的阶梯形矩阵，得r(A)=3。因此向量组的秩也是3。由阶梯形矩阵的最后一行，得由此可知于是向量组可以由向量组线性表示。因此所以即就是与原向量的一个极大线性方程组，且例11设A,B均为m×n矩阵，证明：证设矩阵A,B的列向量组分别为则要证只需证设向量的一个极大无关组为向量组的一个极大无关组为向量组的一个极大无关组为根据最大无关组的定义，可由向量组线性表示；可由向量组线性表示；于是可由向量组线性表示。因此可得即例12证明证设矩

8、阵把矩阵A和C按列分块为其中是矩阵A的第j列，是矩阵C的第j列。所以则可以写为这相当于的列向量组可以由A的列向量组线性表示。根据定理3.10可得同时，由于利用上面的结果，又有所以利用同样的方法，可以证明