矩阵的秩和解的存在定理

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1、§3矩阵的秩和解的存在性定理目的要求（3）掌握非齐次线性方程组解的存在性（1）理解矩阵秩的定义（2）掌握求矩阵秩和最高阶非零子式的方法（4）掌握齐次线性方程组解的存在性（5）掌握矩阵秩的性质一、秩的定义定义1：在矩阵A中任取k行k列，位于这些行与列相交处的元素按照原来相应位置构成的k阶行列式叫做矩阵的k阶子式.共个.为一阶子式；为二阶子式；为三阶子式.定义2：如果矩阵A中则称D为A的一个最高阶非零子式.(2)所有的r+1阶子式(若有的话)都等于0称数r为矩阵A的秩.矩阵A的秩记成R(A).零矩阵的秩规定为0.(

2、1)有一个r阶子式D≠0，例1：求矩阵的秩4个三阶子式全为零解：又例2：求矩阵的秩三阶子式共有4个，全为零二阶子式共有18个，全为零解：注：例3：求矩阵的秩所有4阶子式均为0，而解：定理1：行阶梯形矩阵秩等于非零行行数．定理2:若证经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．).()(BRAR=因此BA，则经一次初等行变换变为若，则AB可经一次初等行变换变为而证毕求秩方法求秩方法：解释：矩阵经过有限次行（列）初等变换后其秩不变.用初等变换把矩阵A化成行阶梯形矩阵，矩阵A的秩=此行阶梯形

3、矩阵的秩.例4求秩和一个最高阶非零子式.解：二、线性方程组解的存在性定理解：分析：若改成求解,则出现0=1矛盾方程，无解.无解出现0=1矛盾方程n元非齐次线性方程组Ax=b解的存在性方程组无解方程组有唯一解方程组有无穷多组解方程组有解例6方程组有唯一解,方程组无解,方程组有无穷多解解一：讨论当t为何值时，（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，求通解.例6方程组有唯一解解二：讨论当t为何值时，（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，求通解.,方程组无解,方程组有无穷多解通解为n元齐次线性方程组Ax=

4、0解的存在性有非零解只有零解是否有非零解？解：有非零解例7三元齐次线性方程组例8问何时有非零解？解一：有非零解解二：有非零解三、秩的性质2)若有s阶非零子式，则3)若所有t阶子式为零，则4)n阶方阵，若；否则5)则6)可逆，则7)乘可逆矩阵秩不变可逆方阵证明：A的最高阶非零子式总是（A，B）的非零子式，所以同理有即为设证明：证明：设A为矩阵，B为矩阵，则X为矩阵.将矩阵X，B按列分块设且A的行最简行为则的后m-r行全为零行.再设后m-r个元全为零后m-r行全为零证明：知，由有解X=B.乘积的秩不超过第一个因子的

5、秩乘积的秩不超过每个因子的秩§3矩阵的秩和解的存在性定理目的要求（3）掌握非齐次线性方程组解的存在性（1）理解矩阵秩的定义（2）掌握求矩阵秩和最高阶非零子式的方法（4）掌握齐次线性方程组解的存在性（5）掌握矩阵秩的性质