3-2 向量组的秩和最大无关组

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1、一、向量组的秩和最大无关组§3.2向量组的秩和最大无关组二、等价向量组一、向量组的秩和最大无关组设A为一n维向量组(A{0}),则A的任一线性无关部分组所含向量个数不多于n个.提示:这是因为当s>n时,n维向量组a1,,as线性相关.A的线性无关部分组所含向量个数存在最大值:存在正整数r,使得A中有r个向量线性无关,而A中任意多于r个向量(若存在的话)线性相关.向量组的秩设A为一向量组,A的线性无关部分组所含向量个数的最大值r,称为向量组A的秩,记为R(A).规定{0}的秩为0.向量组的最大无关组设向量组A的秩为r,如果a1,,ar为A的一

2、个线性无关部分组,那么称a1,,ar为A的一个最大无关组.最大无关组的性质设A为一向量组,则部分组a1,,ar为A的一个最大无关组的充分必要条件是(2)A中任一向量可由a1,,ar线性表示.(1)a1,,ar线性无关;必要性:提示:则向量b可由a1,,ar线性表示.设向量组a1,,ar线性无关,若a1,,ar,b线性相关,从略.向量组的最大无关组设向量组A的秩为r,如果a1,,ar为A的一个线性无关部分组,那么称a1,,ar为A的一个最大无关组.最大无关组的性质设A为一向量组,则部分组a1,,a

3、r为A的一个最大无关组的充分必要条件是(2)A中任一向量可由a1,,ar线性表示.(1)a1,,ar线性无关;于是设b1,,bs为A中向量,s>r.充分性:存在数kij,使得故b1,,bs线性相关.因此r为秩,a1,,ar为最大无关组.例1设x1,,xn-r(r=R(A))为n元方程组Ax=0的一个基础解系,S为Ax=0的解集,则因为基础解系线性无关,且S中的任一向量可由基础解系线性表示,所以基础解系是S的一个最大无关组.n元方程组Ax=0的解集S的秩等于n-R(A).Ax=0的解集S的一个最大无关组也即基础解系.证明

4、若x满足Ax=0,则ATAx=0.若x满足ATAx=0,则xTATAx=0,即(Ax)T(Ax)=0,设aT=(a1,,an),则提示:综上可知Ax=0与ATAx=0同解.从而Ax=0.例2证明设其解集为S,则其中n为未知元的个数.初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.证明设矩阵A经初等行变换化为矩阵B.设矩阵A的列向量组有一线性关系因矩阵A与B行等价,故方程组Ax=0与Bx=0同解.由此可知也有定理1记易知b1,b2,b3,b4,b5的秩为3,定理1初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.例3设且有且有行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩.矩阵

5、的秩等于它的(行)列向量组的秩.注:R(a1,,am)既表示向量组的秩,也表示矩阵的秩.一个最大无关组为b1,b2,b4,因此a1,a2,a3,a4,a5的秩为3,一个最大无关组为a1,a2,a4,秩与最大无关组的一个算法化矩阵A为行最简形A0,通过观察A0,便知A的列向量组的秩和一个特定的最大无关组,以及A的其余列向量在该最大无关组下的线性表示.易知b1,b2,b3,b4,b5的秩为3,例3设且有且有一个最大无关组为b1,b2,b4,因此a1,a2,a3,a4,a5的秩为3,一个最大无关组为a1,a2,a4,解且有例4设(1)求a1,a2,a3,

6、a4的秩和一个最大无关组;(2)求其余向量在此最大无关组下的线性表示.化矩阵(a1,a2,a3,a4)为行最简形:向量组a1,a2,a3,a4的秩为2,一个最大无关组为a1,a2,若向量组B中的任一向量都可由向量组A中的向量线性表示,就称向量组B可由向量组A线性表示.等价向量组可以相互线性表示的两个向量组,称等价向量组.向量组的等价具有反身性、对称性和传递性.向量组的线性表示具有传递性:线性表示若向量组C可由向量组B线性表示,向量组B可由向量组A线性表示,则向量组C可由向量组A线性表示.二、等价向量组向量组与其最大无关组等价.若R(A)R(A,B)r

7、,证明设a1,,ar为向量组A的一个最大无关组.向量组B也可由a1,,ar线性表示.因此a1,,ar为向量组(A,B)的一个最大无关组,因向量组A可由a1,,ar线性表示,线性表示的传递性知,向量组B可由向量组A线性表示的充分必要条件是定理3其中(A,B)表示向量组A与B的并集构成的向量组.必要性:故由向量组从而当然向量组B可由a1,,ar线性表示,的一个最大无关组,充分性:则a1,,ar为向量组(A,B)从而向量组B可由向量组A线性表示.定理4向量组A与向量组B等价的充分必要条件是向量组B可由向量组A线性表示的充分必

8、要条件是定理3其中(A,B)表示向量组A与B的并集构成的向量组.所以R(A)R