实验十二矩阵的秩和向量组的最大线性无关组

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1、1实验十二学习目标矩阵秩的求法把矩阵化为初等行矩阵向量组的秩和最大线性无关组求齐次线性方程组AX=0的基础解系求非齐次线性方程组AX=b的一个特解212.1矩阵的秩矩阵的秩的命令:rank(A)例1已知M=求M矩阵的秩.M=[32-1-3-2;2-131-3;705-1-8];rank(M)ans=2例２已知矩阵M＝　　　　　　　　的秩为２，求常数t的值．symstM=[32-1-3;2-131;70t-1];det(M(1:3,1:3))；%提出矩阵M中的前三行前三列输出结果-7*t+35，令-7*t+35=0所以t=5注意：因为远矩阵的秩为２所以所

2、有高于２阶的子式全为０，所以这里取的三阶子式为０可解出．12.２矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换命令为:rref(A)例３已知A=，证明A可逆，并用初等行变换求A的逆．A=[123;221;343];E=eye(3);AE=[A,E]M=rref(AE)invA=M(:,[4,5,6])1２.３向量组的秩和最大线性无关组例4、求向量组a=(12-11),b=(0-45-2),c=(2030)的秩．并判断是否线性相关？A=[12-11;0-45-2;2030];rref(A)ans=1.000001.5000001.0000-1.25000.500000

3、00所以得到秩为２（非零的行数）线性相关注意：向量组的秩小于向量组中向量的个数所以线性相关；若向量组的秩等于向量组中向量的个数则线性无关．例５求向量组a=(1-124),b=(0312),c=(30714),d=(1-120)e=(2150)的最大线性无关组.A=(1-124;0312;30714;1-120;2150];B=transpose(A);reff(B)ans=1.000003.00000-0.500001.00001.000001.00000001.00002.500000000则可以从列中看出a,bd为最大线性无关组注意：若要判断两个矩

4、阵是否等价，只需要把两个矩阵利用初等行变换命令reff都化为最简标准型，若最后的标准型相同则等价，否则不等价(P114例9)．71２.4求齐次线性方程组AX=0的基础解系求齐次线性方程组AX=0的基础解系命令为:null(A)例6,求解线性方程组clearA=[11-2-1;3-2-22;0573;2-3-5-1];D=det(A);X=null(A)注意：若系数矩阵的秩小于未知数个数，则基础解系存在且有无穷多解：若系数矩阵的秩等于未知数个数，则基础解系不存在只有零解．8输出结果D=0X=0.4714-0.23570.4714-0.7071注意；此时X

5、为基础解系，并且基础解系中只有一个解向量而且X不但为基础解系，并且为标准正交基（即正交化，标准化）程序二clearA=[11-2-1;3-2-12;0573;2-3-5-1];D=det(A);A=sym(A);X=null(A)输出结果X=1-1/21-3/2注意；此时X为基础解系，但不为标准正交基12.5非齐次线性方程组的特解非齐次线性方程组中若系数矩阵r(A)和增广矩阵r(A,b)的秩相等，方程组有解，并且若r(A)=r(A,b)

6、A)和增广矩阵r(A,b)的秩不相等，方程组有无解（n为未知数的个数）10例７求解线性方程组clearA=[11-2-1;3-2-12;0573;2-3-5-1];D=det(A)b=transpose([4,2,-2,4]);rank(A)；rank(A,b)输出结果ans=3ans=3说明系数矩阵和增广矩阵的秩相等都为３，所以方程组有解继续编程求解formatrat%format是格式化命令，表示以有理格式输出rref([A,b])输出结果1002/31010-1/310012/3-100000说明原非齐次线性方程组化为说明　　为自由未知量，所以令

7、这样解锝原非齐次线性方程组的一个特解为注意：在Matlab7.0以上的版本中，可以用linsolve(A,b)求非齐次线性方程组的一个特解小结，作业本节掌握的知识点12.1矩阵秩的求法12.2把矩阵化为初等行矩阵12.3向量组的秩和最大线性无关组12.4求齐次线性方程组AX=0的基础解系12.5求非齐次线性方程组AX=b的一个特解作业：P145页1,２,７P155页2，４