大学高数下册试题及答案 第7章.doc

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1、院系班级姓名作业编号第七章多元函数微分学作业1多元函数1．填空题（1）已知函数，则；（2）的定义域是；（3）的定义域是；（4）函数的连续范围是全平面；（5）函数在处间断.2．求下列极限（1）；解：（2）.解：由于，，故21院系班级姓名作业编号3．讨论极限是否存在.解：沿着曲线,有因而异，从而极限不存在4．证明在点分别对于每个自变量或都连续，但作为二元函数在点却不连续.解：由于从而可知在点分别对于每个自变量或都连续，但沿着曲线,有因而异，从而极限不存在，故作为二元函数在点却不连续.21院系班级姓名作业编号作业2偏导数1．填空题

2、（1）设，则；（2）（3）设，则；（3）设，则0；（4）曲线在点处的切线与轴正向的倾角是.2．设，证明.证:因为所以3.设，求，.解：，从而21院系班级姓名作业编号4．设，证明.解：因为所以5．设函数.（1）试求的偏导函数；解：当，当，（2）考察偏导函数在点处是否连续.，故在点处连续，不存在，从而在点处不连续21院系班级姓名作业编号作业3全微分及其应用1．填空题（1）在点处偏导数存在是在该点可微的必要条件；（2）函数在点处，当时有全增量，全微分；（3）设在点处的全增量为，全微分为，则在点处的全增量与全微分的关系式是；（4）在

3、点处的；（5）,则；（6）,则；（7）,则.2．证明：在点处连续，与存在，但在处不可微.证：由于从而但是不存在，从而在处不可微.21院系班级姓名作业编号3．设函数试证：（1）函数在点处是可微的；证：因为又所以函数在点处是可微的（2）函数在点处不连续.证：当不存在，故在点处不连续21院系班级姓名作业编号作业4多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设，则；（2）设，则；（3）设，则；（4）设，则.2．求下列函数的偏导数（1）设其中具有一阶连续偏导数，求和；解：（2）设，其中均可微，求和.解：因为从而所以3．验证下列各式（1）设，

4、其中可微，则；证：因为21院系班级姓名作业编号所以（2）设，其中可微，则.证：因为所以4．设其中函数具有二阶连续偏导数，求.解：因为所以4．设其中函数具有二阶连续偏导数，试证：.证：因为从而左边21院系班级姓名作业编号作业5隐函数求导法1．填空题（1）已知，则；（2）已知，则；（3）已知，则；（4）已知，则；（5）已知，其中具有一阶连续偏导数，则.2．设其中具有二阶连续偏导数，求．解：3．求由方程组所确定的及的导数及.解：由已知4．设函数，又方程确定是的函数，其中21院系班级姓名作业编号与均可微；连续，且.试证：.证：因为，

5、5．设函数具有二阶连续偏导数，而满足方程，求.解：因为特征方程为21院系班级姓名作业编号作业6方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数在点的梯度为；（4）函数在点处沿方向的方向导数是，且函数在该点的梯度是；（5）函数在点处沿方向的方向导数是；（6）函数在点处沿指向点方向的方向导数是.2．求在点及点处的梯度间的夹角.解：夹角余弦为3．求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿那个方向减少得最快？沿那个方向的值不变？解：，在该点沿梯

6、度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即方向的值不变21院系班级姓名作业编号4．设轴正向到得转角为，求函数在点处沿着方向的方向导数.解：，由于该函数在点处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向的方向导数：21院系班级姓名作业编号作业7偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面上点的切平面平行于平面，则点的坐标是；（2）曲面在点处的切平面方程是；（3）由曲线绕轴旋转一周所得到的旋转曲面在点处的指向内侧的单位法向量为；（4）曲面在点处的法线方程是；（5）已知曲线上点的切线平行于平面，则点的坐标是或．2．求曲

7、线在对应于的点处的切线和法平面方程.解：切点为，从而切线为，法平面为3．求两个圆柱面的交线在点处的切线和法平面的方程.解：，21院系班级姓名作业编号切线为，法平面为4．求曲面在点处的切平面及法线的方程.解：切平面为，法线为5．求函数在点处沿曲线在此点的外法线方向的方向导数.解：指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为6．证明：曲面在任意点处的切平面都通过原点，其中具有连续导数.证：设切点为，则切平面为令，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。21院系班级姓名作业编号作业8多元函数的极值1

8、．填空题（1）函数的极值是0；（2）函数的极值点是；（3）函数的极值点是；（4）函数的极值是；（5）函数的极值是.2．证明：函数有无穷多个极大值点，但无极小值点.证：因为由得驻点坐标为又故只有当为偶数时才大于零，从而才有极值。而这时因此该函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。3．求函数在条