《线性代数》模拟考试卷B及问题详解.doc

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1、《线性代数》模拟试卷B及答案一、选择题(每小题3分,共30分)(1)若A为4阶矩阵,则=()(A)4(B)(C)(D)(2)设A,B为n阶方阵,且,则()(A)(B)(C)(D)(3)A,B,C均为n阶方阵,则下列命题正确的是()(A)(B)(C)(D)(4)成立的充要条件是()(A)(B)(C)(D)(5)线性方程组有唯一解,则为()(A)任意实数(B)不等于(C)等于(D)不等于0(6)若A为可逆阵,则=()(A)(B)(C)(D)(7)含有4个未知数的齐次方程组,如果,则它的每个基础解系中解向量的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3(8)

2、设为矩阵,齐次方程组仅有零解的充要条件是的()(A)列向量线性无关(B)列向量线性相关(C)行向量线性无关(D)行向量线性相关(9)已知矩阵A=,下列向量是A的特征向量的是()(A)(B)(C)(D)(10)二次型为正定二次型,则的取值围是()(A)(B)(C)(D)二、计算题(第1、2小题每题5分,第3、4小题每题10分,共30分)1、计算行列式。(5分)2、设,求的逆。(5分)3、求矩阵方程,其中。(10分)4、求向量组,,,的秩,并求出它的一个最大无关组。(10分)三、证明题(第1小题9分,第2小题6分,共15分)1、已知向量组线性无关,,试证

3、向量组线性无关。(9分)2、设A、B分别为m,n阶可逆矩阵,证明:可逆,且。(6分)四、综合题(第1小题15分,第2小题10分,共25分)1、取何值时,非齐次线性方程组,(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解?并在有无穷多个解时求其通解。(15分)2、已知A为n阶方阵,且满足(1)证明:可逆,并求。(5分)(2)若,求的值。(5分)《线性代数》模拟试卷四参考答案与评分标准一、选择题(30分)每题3分,共10题,共30分(1)B(2)D(3)C(4)A(5)B(6)C(7)D(8)A(9)D(10)A二、计算题(30分)第1、2小题每题5分,第

4、3、4小题每题10分,共30分。1、===或以其它方式计算视情况酌情给分,结果正确得5分。2、对作初等行变换,当变为时,则变为,……4分则…………………………………………………….5分也可用求伴随矩阵的方法求该矩阵的逆,视情况都可酌情给分。3、由,得,求,我们同样可以用上面题目的方法,对进行初等变换,当变为时,则变为,……........5分=……………………………………..8分则,=…………………………………………..…10分4、作矩阵经过初等行变换可化为行最简形矩阵,得,即向量组的秩为2,……….6分可取为向量组的一个最大无关组………………………

5、…….10分由题意可知向量组中的任何两个(因对应分量不成比例)都可以做为它的一个最大无关组。三、证明题(15分)第1小题9分,第2小题6分,共15分。1、证明:设有使,……………………….........2分即,……………………….4分亦即,…………………………….6分因线性无关,故有,……………………………8分故方程组只有零解,所以向量组线性无关。…..9分.2、证明:…………………..4分故可逆且………………………………………..6分四、综合题(25分)第1小题15分,第2小题10分,共25分。1、计算线性方程组的系数行列式……………..6分当,

6、方程组有唯一解,即(1),方程组有唯一解;…………………………….8分(2)当,方程组的增广矩阵为,则,方程组无解;………………………………10分(3)当,方程组的增广矩阵为,,……….12分方程组有无穷多个解,可得通解为即:……………….…15分2、(1)证明:由,得,则………….…..1分由A为n阶方阵,,………………….....3分,可逆,由上可得:,…………………………………………………....….5分(2)由,可得,………………………....1分则,所以,由,…………...3分得………………………………........5分

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