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《线性代数测试考试卷及问题详解.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、线性代数（A卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分)1.设﹑是任意阶方阵,那么下列等式必成立的是()(A)(B)(C)(D)2.如果元齐次线性方程组有基础解系并且基础解系含有个解向量,那么矩阵的秩为()(A)(B)(C)(D)以上答案都不正确3.如果三阶方阵的特征值为,那么及分别等于()(A)(B)(C)(D)4.设实二次型的矩阵为,那么()(A)(B)(C)(D)5.若方阵A的行列式，则()(A)A的行向量组和列向量组均线性相关(B)A的行向量组线性相关,列向量组线性无关(C)A的行向量组和列向量组均线性无关(D)A的列向量组线性相关,行向量组线性无关二
2、﹑填空题(每小题3分,共30分)1如果行列式有两列的元对应成比例,那么该行列式等于；2.设，是的伴随矩阵，则；3.设,是非齐次线性方程组的解,若也是它的解,那么；4.设向量与向量正交,则；5.设为正交矩阵,则；6.设是互不相同的三个数,则行列式；7.要使向量组线性相关，则；8.三阶可逆矩阵的特征值分别为,那么的特征值分别为；9.若二次型是正定的，则的取值围为；10.设为阶方阵,且满足,这里为阶单位矩阵,那么.三﹑计算题（每小题9分，共27分）1.已知，，求矩阵使之满足.2.求行列式的值.3求向量组的一个最大无关组和秩.四﹑(10分)设有齐次线性方程组问当取
3、何值时,上述方程组(1)有唯一的零解﹔(2)有无穷多个解,并求出这些解.五﹑(12分)求一个正交变换,把下列二次型化成标准形:.六﹑(6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为.线性代数（A卷）答案一﹑1.D2.C3.B4.A5.A二﹑1.02.3.14.35.1或-16.7.08.9.10.三﹑1.解由得.(2分)下面求.由于(4分)而.(7分)所以.(9分)2.解(4分)(8分)(9分).3.解由于(6分)故向量组的秩是3，是它的一个最大无关组。(9分)四﹑解方程组的系数行列式(2分)①当,即且时,方程组有唯一的零
4、解;(4分)②当时,,方程组的系数矩阵为,它有一个二阶子式,因此秩()(这里),故方程组有无穷多个解.对施行初等行变换,可得到方程组的一般解为其中可取任意数;(7分)③当时,,方程组的系数矩阵为,显然,秩()(这里),所以方程组也有无穷多个解.对施行初等行变换可得方程组的一般解为其中可取任意数.(10分)五﹑解二次型的矩阵为,(2分)因为特征多项式为,所以特征值是(二重)和.(4分)把特征值代入齐次线性方程组得解此方程组可得矩阵的对应于特征值的特征向量为.利用施密特正交化方法将正交化:,,再将单位化得,,(8分)把特征值代入齐次线性方程组得解此方程组可得矩
5、阵的对应于特征值的特征向量为.再将单位化得.(10分)令则是一个正交矩阵,且满足.所以,正交变换为所求,它把二次型化成标准形.(12分)六﹑证明:必要性由交于一点得方程组有解,可知(2分)由于,所以(3分)充分性：,(5分)因此方程组有唯一解，即交于一点.(6分)线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号。错选或未选均无分。1.设行列式=m，=n，则行列式等于（）A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n2.设矩阵A=，则
6、A-1等于（）A.B.C.D.3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1，2）的元素是（）A.–6B.6C.2D.–24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A.A=0B.BC时A=0C.A0时B=CD.
7、A
8、0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A.1B.2C.3D.46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α
9、1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的
10、一个解B.η1+η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一
