《线性代数》样卷B及问题详解(1)

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1、实用《线性代数》样卷B一、选择题（本题共10小题,每小题2分，共20分)(从下列备选答案中选择一个正确答案)1、排列7352164的逆序数为（）（A）11（B）12（C）13（D）142、若A为n阶可逆矩阵，下列各式正确的是（）（A）（B）（C）（D）3、以初等矩阵右乘初等矩阵相当于对矩阵A施行初等变换为（）（A）（B）（C）（D）4、奇异方阵经过（）后，矩阵的秩有可能改变（A）初等变换（B）左乘初等矩阵（C）左右同乘初等矩阵（D）和一个单位矩阵相加5、如果元齐次线性方程组有基础解系并且基础解系含有个解向量，那么矩阵的秩为（）（A）（B）（C）（D

2、）以上答案都不正确6、向量组线性无关，线性相关，则有（）（A）可由线性表示（B）可由线性表示（C）可由线性表示（D）可由线性表示7、以下结论正确的是（　）文档实用（A）一个零向量一定线性无关；（B）一个非零向量一定线性相关；（C）含有零向量的向量组一定线性相关；（D）不含零向量的向量组一定线性无关8、n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件9、关于的一次多项式，则式中一次项的系数为（）（A）2（B）—2（C）3（D）—310、下列不可对角化的矩阵是（）（A）

3、实对称矩阵（B）有个相异特征值的阶方阵（C）有个线性无关的特征向量的阶方阵（D）不足个线性无关的特征向量的阶方阵二、填空题（本题共10空，每空2分，共20分）（请将正确答案填入括号内）1、若三阶方阵的3重特征值为2，则行列式=2、已知，则=.3.设为三阶可逆矩阵，且，则4、文档实用5、矩阵的秩是6、行列式中元素－2的代数余子式是7、设为一个4元齐次线性方程组，若为它的一个基础解系，则秩8、设的行最简形为：.9、已知，则.10、设向量与向量正交，则三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、计算2、已知，，求.四

4、、综合应用题（本题共4小题，共48分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、（8分）已知向量组，（1）求该向量组的秩.（2）求该向量组的一个最大无关组.文档实用（3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.2、（8分）验证为R3的一个基并求在这个基中的坐标。3、（14分）设有向量组及向量问取何值时。（1）向量b不能由向量组线性表示？（2）向量b能由向量组线性表示，且表示式唯一？（3）向量b能由向量组线性表示，且表示式不唯一？4、（18分）已知二次型,（1）写出二次型对应的矩阵.(3分)（2）求矩阵的特征值.(3分)（3）求矩阵的特征值对应的特征向

5、量.(6分)（4）求正交变换把二次型化为标准型.(6分)《线性代数》样卷B答案及评分标准一、选择题（本题共10小题,每小题2分，共20分)1-5:CBDDC6-10:DCBAD文档实用二、填空题（本题共10空，每空2分，共20分）1、82、03、4、5、26、-47、18、9、—1210、—3三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分）1、解：（6分）2、已知，，求.解：（2分）（2分）（2分）文档实用四、综合应用题（本题共4小题，共48分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、（8分）已知向量组，（1）求该向量组的秩.（2）求该向量组的一个最大无

6、关组.（3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.解：（2分）（1）该向量组的秩，（2分）（2）该向量组的一个最大无关组为（2分）（3）（2分）2、（8分）验证为R3的一个基并求在这个基中的坐标。解：证（4分）为R3,的一个基（2分）且即（2分）3、（14分）设有向量组及向量问取何值时。文档实用（1）向量b不能由向量组线性表示？（2）向量b能由向量组线性表示，且表示式唯一？（3）向量b能由向量组线性表示，且表示式不唯一？解：设记（5分）（1）当时无解，即b不能由组线性表示。（3分）（2）当时有唯一解，b能由组唯一表示。（3分）（3）当时，有

7、无穷多解，b能由表示且不唯一。（3分）4、（18分）已知二次型,（1）写出二次型对应的矩阵.(3分)（2）求矩阵的特征值.(3分)（3）求矩阵的特征值对应的特征向量.(6分)（4）求正交变换把二次型化为标准型.(6分)解：（1）（3分）文档实用　（2）故得特征值为．（3分）（3）当时，由.解得.得特征向量（2分）当时,由解得得特征向量（2分）当时,由.解得得特征向量（2分）（3）特征向量，，两两正交，将单位化得（3分）于是正交变换文档实用把二次型化为标准型（3分）文档