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《第三章 内积空间 正规矩阵 Hermite矩阵.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第三章积空间正规矩阵Hermite矩阵3－1(1)证明：＝==，()＝，因为A为正定H矩阵，所以，当且仅当由上可知是酉空间。証毕。（2）解：，由Cauchy-Schwarz不等式有：3－2解：根据核空间的定义知道N(A)是方程组3－3（1）解：由
2、E-A
3、=(+1)得=－1是A的特征值，当＝－1时，可得
4、E-A
5、＝于是＝（0，1，0）是A的特征向量。选择与正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U=则U*AU=取A=，
6、E-A
7、=(+1)=－1是A的特征值。当＝－1时，可得
8、E-A
9、＝，于是，＝（--，）是A的特征向量，选择与正交的向量组成酉阵U=，U*A
10、U==3－3（2）解：首先求出其特征多项式3－4．证明：由教材定理3.4.9可知正交投影矩阵为,其中3－5（1）解：易证是Hermite矩阵.3－5（2）解：3－5（3）解：3－5（4）解：3－6（1）解：3－6（2）解:3－7（1）解：3－7（2）解法仿3－7（1）解题方法.3－8证明：由于n阶酉矩阵U的特征值不等于1，所以由此可知为满秩矩阵.3－9证明：令，，，又S，T分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，即有，则有，，因为显然有，同理可得，即，即证。3－10证明：必要性由于相似矩阵具有相同的特征值，所以A与B的特征值相同.充分性A,B均为实对称矩阵，所以
11、分别存在正交矩阵使得3－11证明:必要性由于相似矩阵具有相同的特征值，所以A与B的特征值相同.充分性A,B均为实对称矩阵，所以分别存在酉矩阵使得3-12证明：（1）必要性：因为A，B是正规矩阵，所以存在使得，存在使得又因为A酉相似于B，所以存在，使得所以又因为，所以可记为：即A与B特征值相同。（2）充分性：存在使得，存在使得因为所以即A酉相似于B。3-13证明：A是Hermite矩阵，则存在，使得UAU=diag（，，……）则A=,由=A可得A===，……，,从而可知0，1是A的特征值,取，得出UAU=，题目得证。3-14证明：A是Hermite矩阵，则
12、存在，使得则，则-1和1为A的特征值，可记，，即有UAU=题目得证。3-15解：（仅供参考）3-16解：于是其中.由于A为一个Hermite矩阵，所以A可以酉对角化.A的特征值的正交单位特征向：A的特征值的单位特征向：，于是3-17证明：3-18证明：令，显然P为Hermite矩阵而且正定唯一，A正定A的特征值全大于0。所以A可逆，P可逆；所以AB与BA相似，则AB与BA的特征值相同，，也为H矩阵的特征值为实数，，所以AB，BA的特征值都是实数3-19证明：由于A是一个半正定的Hermite矩阵，所以A的n个特征值均为非负实数，又由于，于是不能全为零，3
13、-20证明：3-21证明：由，，所以，由题3－14可知，的特征值为又是正定的，所以的特征值全部为1，则存在所以可得即证。3－22证明：（1）令A，B为半正定Hermite矩阵，则存在，使得又由Hermite矩阵的简单性质，为Hermite矩阵，且存在，使得；则为半正定Hermite矩阵。（2）令A为半正定Hermite矩阵，B为正定Hermite矩阵，则有，使得又由Hermite矩阵的简单性质，为Hermite矩阵，且存在，使得；则为正定Hermite矩阵。3－23证明：由于矩阵A是一个正定的Hermite矩阵，所以A可逆，于是3-24证明：充分条件：因
14、为A，B是n阶正规矩阵，则存在,使得，其中；分别是A与B的特征值。又因为A与B相似，所以其对应的特征值相同。则有。令，则，因为U、V是酉矩阵，则W也是酉矩阵。所以A与B酉相似。必要条件：因为A与B酉相似，则使得，又由于则，因而A与B相似。3-25证明：3-26证明：3-27证明：由已知条件可得3-28证明：3－29证明：（1），则，，；所以和都是半正定的Hermite矩阵。（2）令则，，则又因为为可逆矩阵，则则与有相同的非零解3－30证明：因为A是正规矩阵，所以，则存在使，其中为的特征值；（1）(2)即的特征值都为实数又为正规矩阵（3）同理即3－31证明
15、：3－32设，那么A可以唯一的写成，其中为Hermite矩阵，且A可以唯一的写成，其中B是Hermite矩阵，C是反Hermite矩阵。证：令，且A=S+iT,。下证唯一性：用反证法。假设存在使,且均为Hermite矩阵。则由：A=S1+iT1同理有：S1=S2，T1=T2可知：A可唯一的写成A=S+iT。令B=S，C=iT，则显然B为Hermite矩阵，C为反Hermite矩阵则A可唯一写成A=B+C,其中証毕。3-33.设是n维实(列)向量空间，若：，令容易验证，所规定的(α,β)满足定义3.1.1中的四个条件.因此在这样定义积后成为欧氏空间.3-3
16、4.解：这只需验证满足积的四个条件即可.等式成立的充要条件是3-35.解：设，不
