最新No3内积空间正规矩阵下教程教学讲义ppt课件.ppt

《最新No3内积空间正规矩阵下教程教学讲义ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、No3内积空间正规矩阵下教程第三章内积空间、正规矩阵与Hermite矩阵§3酉变换、正交变换§4幂等矩阵、正交投影§7Hermite变换、正规变换§2标准正交基、Schmidt方法§1欧式空间、酉空间§8Hermite矩阵、Hermite二次齐式§9正定二次齐式、正定Hermite矩阵§5对称与反对称变换§6Schur引理、正规矩阵§10Hermite矩阵偶在复相合下的标准形§11Rayleigh商例1设是欧式空间的一个子空间，那么在上的正交投影变换就是一个对称变换。§5、对称和反对称矩阵定义1设是欧式空间上一个线性变换，如果对任意的，都有证明

2、任取设称为的一个对称变换。于是有由正交投影的定义，则对称矩阵最主要的性质是可以对角化，尤其是可以正交对角化，推广到正规矩阵后这个性质是否还能保留呢？为此，我们先给出下面的引理。定义1设，若存在使得则说酉相似（或正交相似）于。一、Schur引理100多年前(1909年)给出的Schur引理是矩阵理论中的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在矩阵计算中也具有相当重要的地位。并称为方阵的Schur分解。定理1(Schur引理)任何复方阵必酉相似于一个上三角阵。即存在酉矩阵，使证明：用数学归纳法。的阶数为1时定理显然成立。现设的阶数为时定理成立，考虑的

3、阶数为时的情况。取阶矩阵的一个特征值，对应的单位特征向量为，构造以为第一列的阶酉矩阵，因为构成的一个标准正交基，故，因此其中是阶矩阵，根据归纳假设，存在阶酉矩阵满足(上三角矩阵)令那么其中等号成立的充要条件是酉相似于对角矩阵。证明由Schur引理，存在，使得定理2(Schur不等式)设为的特征值，则其中结论成立！故即又试求酉矩阵使得为上三角矩阵.例1:已知矩阵解:首先求矩阵的特征值所以为矩阵的三重特征值.当时,有单位特征向量再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量再解与内积为零的方程组又求得一个单位解向量计算可得取再求矩阵的特征值所以为矩阵的二

4、重特征值.当时,有单位特征向量令求得一个单位解向量再解与其内积为零的方程取计算可得令则于是有矩阵即为所求的酉矩阵.二、正规矩阵定义2方阵是正规的，当且仅当引理2满足的三角阵必是对角阵。设,如果同样满足那么称矩阵为一个实正规矩阵.引理1设为正规矩阵，则与酉相似的矩阵均是正规矩阵。证明对上三角阵，比较等式两边乘积矩阵在第行第列位置上的元素，并注意到，因此对，有当时，有可知对施行归纳法，可得，证毕。例2判断下列矩阵是不是正规矩阵：（1）实对称矩阵（）；（2）实反对称矩阵（）；（3）正交矩阵（）；（4）酉矩阵（）；（5）Hermite矩阵（）；（6）反

5、Hermite矩阵（）；（7）形如的矩阵。H-阵,反H-阵,正交矩阵,酉矩阵,对角矩阵都是正规矩阵.定理3方阵是正规的，当且仅当与对角矩阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特征值。证明：必要性。如果是正规矩阵，那么存在酉矩阵及对角阵使得，即因此充分性。若有，显然可验证称之为正规矩阵的结构定理。推论3:正规矩阵属于不同特征值的征向量彼此正交.推论2:阶正规矩阵有个线性无关的特征向量.推论1:设是正规矩阵，是的特征值，对应的特征向量是，则是的特征值，其对应的特征向量是.解:先计算矩阵的特征值求正交矩阵使得为对角矩阵.例1:设其特征值为对于特

6、征值解线性方程组求得其一个基础解系现在将单位化并正交化,得到两个标准正交向量对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将这三个标准正交向量组成矩阵则矩阵即为所求正交矩阵且有例2:设求酉矩阵使得为对角矩阵.解:先计算矩阵的特征值对于特征值解线性方程组其特征值为求得其一个基础解系现在将单位化,得到一个单位向量对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将这三个标准正交向量组成矩阵则矩阵即为所求酉矩阵且有定理4:设是正规矩阵,则(1)是H-

7、阵的充要条件是的特征值为实数.(3)是酉矩阵的充要条件是的特征值的模长为1.(2)是反H-阵的充要条件是的特征值实部为零.注意:正规矩阵绝不仅此三类.例3:设是一个反H-阵,证明:是酉矩阵.证明:根据酉矩阵的定义由于是反H-阵,所以这样于是可得这说明为酉矩阵.例4:设是一个阶H-阵且存在自然数使得,证明:.证明:由于是正规矩阵,所以存在一个酉矩阵使得于是可得这样从而即例5设为正规矩阵，且，则因为是正规矩阵，所以存在酉矩阵，使得再由，得因此，即，故从而，故定理5设为正规矩阵，则可以同时酉对角化的充要条件是可以同时酉对角化的含义是存在一个阶酉矩阵使

8、得结论设为Hermite(实对称)矩阵，且则存在酉矩阵使得课后思考1、实正规矩阵是否正交相似于实对角矩阵？2、实正规矩阵是否正交相似于复对角矩阵？3、