矩阵论 第三章 内积空间,正规矩阵与H-矩阵

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1、第三章内积空间，正规矩阵与H-矩阵定义：设是实数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：北京理工大学高数教研室这里是中任意向量，为任意实数,只有当时，我们称带有这样内积的维线性空间为欧氏空间。例1在中，对于规定容易验证是上的一个内积，从而成为一个欧氏空间。如果规定北京理工大学高数教研室容易验证也是上的一个内积,这样又成为另外一个欧氏空间。例2在维线性空间中，规定容易验证这是上的一个内积，这样对于这个内积成为一个欧氏空间。例3在线性空间

2、中，规定北京理工大学高数教研室容易验证是上的一个内积，这样对于这个内积成为一个欧氏空间。定义：设是复数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：北京理工大学高数教研室这里是中任意向量，为任意复数，只有当时，我们称带有这样内积的维线性空间为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。例1设是维复向量空间，任取北京理工大学高数教研室规定容易验证是上的一个内积，从而成为一个酉空间。例2设表示闭区间上的所有连续复值函数组成的线性空间，定义北京理工大

3、学高数教研室容易验证是上的一个内积，于是便成为一个酉空间。例3在维线性空间中，规定其中表示中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证是上的一个内积，从而连同这个内积一起成为酉空间。内积空间的基本性质：北京理工大学高数教研室欧氏空间的性质：北京理工大学高数教研室酉空间的性质：北京理工大学高数教研室定义：设是维酉空间，为其一组基底，对于中的任意两个向量那么与的内积令北京理工大学高数教研室称为基底的度量矩阵，而且定义：设，用表示以的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，记北京理工大学高数教研室则称为的复共轭转置矩阵。不难验证复共轭转置矩

4、阵满足下列性质：北京理工大学高数教研室定义：设,如果，那么称为Hermite矩阵；如果，那么称为反Hermite矩阵。例判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室熟悉下列概念:（1）实对称矩阵（2）反实对称矩阵（3）欧氏空间的度量矩阵（4）酉空间的度量矩阵内积空间的度量定义：设为酉（欧氏）空间，向量的长度定义为非负实数例在中求下列向量的长度北京理工大学高数教研室解：根据上面的公式可知一般地，我们有:对于中的任意向量其长度为北京理工大学高数教研室这里表示复数的模。定

5、理：向量长度具有如下性质当且仅当时，北京理工大学高数教研室例1：在线性空间中，证明例2设表示闭区间上的所有连续复值函数组成的线性空间，证明：对于任意的，我们有北京理工大学高数教研室定义：设为欧氏空间，两个非零向量的夹角定义为于是有定理：北京理工大学高数教研室因此我们引入下面的概念;定义：在酉空间中，如果，则称与正交。定义：长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量，向量总是单位向量，称此过程为单位化。北京理工大学高数教研室标准正交基底与Schmidt正交化方法定义设为一组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量

6、彼此正交，则称其为正交的向量组。定义如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。例在中向量组北京理工大学高数教研室与向量组都是标准正交向量组。北京理工大学高数教研室定义：在维内积空间中，由个正交向量组成的基底称为正交基底；由个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现这一问题。定理：向量组为正交向量组的充分必要条件是向量组为标准正交向量组的充分必要条件是北京理工大学高数教研室定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向

7、量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。Schmidt正交化与单位化过程:设为维内积空间中的个线性无关的向量，利用这个向量完全可以构造一个标准正交向量组。北京理工大学高数教研室第一步正交化容易验证是一个正交向量组.北京理工大学高数教研室第二步单位化显然是一个标准的正交向量组。例1运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。解：先正交化北京理工大学高数教研室再单位化北京理工大学高数教研室那么即为所求的标准正交向量组。例2求下面齐次线性方程组北京理工大学高数教研室其解空间的一个标准正交基底。解：先求出

8、其一个基础解系下面对进行正交化与单位化：北京理工大学高数教研室即为其解空间的一个标准正交基底。北京理工大学高数教研室酉变换与正交变换定义：设为一个阶复矩阵，如果其满足则称是酉矩阵，一般记为设为一个阶实矩阵，如果其满足则称是正交矩阵，一般记为北京理工大学高数教研室例：是一个正交矩阵北京理工大学高数教研室是一个正交矩阵是