第三章 两自由度系统振动ppt课件.ppt

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1、第三章两自由度系统的振动第一节引言第二节两自由度系统无阻尼的自由振动第三节两自由度系统振动模型的建立第四节刚体在平面内的振动第五节两自由度系统的强迫振动第六节阻尼对强迫振动的影响第七节两自由度系统振动理论的实际应用第一节引言两自由度系统的振动：用两个独立坐标才能确定的系统振动。第二节两自由度系统无阻尼的自由振动一、系统振动微分方程的建立力学模型：耦合项单自由度无阻尼的自由振动的标准方程二、两自由度系统固有频率与主振型解微分方程：(3-1)齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式为01.系统的

2、固有频率2.主振型按频率数值大小为序,数值最小的一个称为第一阶固有频率,用来表示；把数值较大的一个称为第二阶固有频率,用来表示。(3-1)一般情况下的系统振动是两种简谐振动的叠加，即三、两自由度系统无阻尼自由振动的通解两自由度与单自由度系统振动特性与分析方法的不同：两自由度振动系统具有两阶固有频率；两自由度振动系统引入主振型的概念，与系统的固有频率一样，是系统本身的物理特性与固有特性，与其初始条件无关。一般情况下系统的振动是两种主振动的叠加，是一种复杂的非周期运动。当满足一定条件时，系统才作主振

3、动。例3-1如图，两自由度模型中，已知m1=m2=m=0.05kg，K1=K2=K3=K=20N/m,初始条件如下：x10=1cm,x20=-2cm,x'10=x'20=0x10=x20=1cm,x'10=x'20=0求两种情况下系统的响应。a）第一阶主振型图b）第二阶主振型图系统按第一阶固有频率振动,为第一阶主振型。例练习1如图，推导系统的频率方程并求主振型。设滑轮为均质圆盘，其质量为m2，质量块质量为m1，弹簧刚度分别为K1和K2，并假定滑轮与绳索间无相对滑动。解：选取广义坐标为（），取静平

4、衡位置作为坐标原点，进行受力分析，建立系统的运动微分方程：系统的固有频率频率9练习2如图，摆长均为l，质量均为m的单摆，上端铰接悬挂，距悬挂点a处，用刚度为K的弹簧相联。设弹簧原长为AB，杆重不计，系统作微振动。推导系统的频率方程并求主振型。解：1)建立系统的运动微分方程：例如图，求两自由度扭振系统的固有频率及主振型。（I2=2I1）第三节两自由度系统振动模型的建立动力学系统振动模型的建立方法：牛顿运动定律定轴转动微分方程能量法一、拉氏方程的原理在理想、完整约束条件下的n个自由度系统，选取广义坐

5、标为qj（j=1,2,···,n)，其运动可由如下拉格朗日方程来描述：式中，T为系统的动能，为广义速度，为与qj对应的广义力。1)当作用于系统的主动力都是有势力时（系统没有能量损失时），则系统具有势能U（q1,q2,···,qn)，广义力为代入方程得：其中，L=T-U称为拉格朗日函数。2)当作用在系统上的主动力中，部分为有势力，部分是非有势力，广义力Qj可分为两部分：当非有势力中包括阻尼力时：若系统受到线性阻尼作用，可以引入瑞利耗散函数D例题：如图所示为有阻尼的双弹簧系统。试用拉氏方程建立系统的

6、振动微分方程。解：取小车的绝对位移u1和圆柱体的绝对位移u2为广义坐标。例题：置于光滑平面的小车质量m1，车上质量为m2的圆柱体可作无滑动的纯滚动。试建立该系统的运动微分方程。根据圆柱体对圆心的转动惯量和纯滚动的转角可以写出系统的动能和势能：代入拉氏方程，得系统的微分方程u1u2练习4摆长均为l，摆锤质量分别为m1及m2的两单摆，在距离悬挂点a处，用刚度为K的弹簧相联，如图，设弹簧原长等于AB，试用拉氏方程导出双摆的运动微分方程。第四节刚体在平面内的振动一、平面振动微分方程的建立及其解设刚性杆质

7、量为m，支撑弹簧刚度为K1、K2，质心为C，其距前轮的距离为l1和l2，杆绕质心轴转动惯量为Ic，取质心C的垂直位移x及杆绕质心的角位移θ作为广义坐标（x,θ），对杆进行受力分析。11第四节刚体在平面内的振动一、平面振动微分方程的建立及其解静平衡位置弹簧未压缩时位置设刚性杆质量为m，支撑弹簧刚度为K1、K2，质心为C，其距前后轮的距离为l1和l2，杆绕质心轴转动惯量为I，取质心C的垂直位移x及杆绕质心的角位移θ作为广义坐标（x,θ），分析振动规律。考虑到在静平衡位置：重力与弹簧1和2的静弹力之和

8、相等，而且两弹簧对质心的静弹性力矩之和为零，所以有代入上式，得第五节两自由度系统的强迫振动如图在m1和m2上分别作用有简谐激振力F1sinωt和F2sinω，取广义坐标为（x1,x2），以静平衡位置作为坐标原点。运动微分方程为：结论：1）系统的强迫振动是与简谐干扰同频率的简谐振动。可求得固有频率ωn1和ωn2。在（2）式中，当频率ω=ωn1或ω=ωn2时，振幅为无穷大，发生共振现象。2）两自由度系统的强迫振动有两个共振频率。练习4如图3-21所示：m1=m2=m，K1=K2=K3=K，m1上作用