二自由度系统振动课件.ppt

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1、第五章二自由度系统振动1.引言2.自由振动3.车辆的震动4.用初始条件表示的振动5.二自由度振系的强迫振动，动力吸振器6.离心摆式吸振器1、引言自由度的数目等于描述振动系统所需的独立坐标的数目。N自由度的振系有N个固有频率（通常不等）。自由振动由N个主振动组合而成。在每个主振动中，系统各坐标之间有确定的比例关系，这种特定的振动形态称为主振型。主要内容：求固有频率与主振型的方法以及动力吸振器的原理。2、自由振动无阻尼2自由度系统对m1,由牛顿运动定律以m1与m2的静平衡位置O1与O2作为坐标轴x1与x2的原点。弹簧k1伸长

2、x1,弹簧k3缩短x2，弹簧k2伸长（x2-x1）移项整理得同理,对m22自由度振系自由振动微分方程2、自由振动2自由度振系自由振动微分方程，可写为联立的二阶常系数线性微分方程组令代入方程组，得2、自由振动可见，系数为零X1=X2=0时，成立，表示振系的平衡状态。要使X1=X2≠0，系数行列式等于0.频率方程2、自由振动频率方程的根p2由于ae>bf,所以p21与p22都是正数。故振系有连个固有频率p1与p2，唯一决定于振系的参数a,b,e,f，称为振系的固有频率。2、自由振动求主振型振幅比以p21与p22代入，得2、自

3、由振动特解的两种形式：其中p1对应于根号前取负号，是较低的固有频率；p2对应于根号前取正号，是较高的固有频率。2、自由振动μ1>0μ2<0因此，振系以频率p1振动时，m1与m2运动总是同向,而振系以频率p2振动时，m1与m2运动总是反向。振幅比这两种形式的振动称为主振型振动。以较低频率p1进行的称为第一振型或低振型振动；以较高频率p2进行的称为第二振型或高振型振动。主振型运动特点：同时达到最大振幅，位移比恒定。2、自由振动特解叠加，可得方程组的全解其中，p1与p2以及μ1与μ2决定于振系的参数，X11与X12以及φ1与φ

4、2决定于初始条件。总结：2自由度振系有两个固有频率，每个固有频率有一个确定的振幅比，每个振幅比决定一种主振型，振系的任何自由振动都可以表示为两种主振型的叠加。2、自由振动例1设k1=k3=k,m1=m2=m,求固有频率及主振型解：频率方程简化为第一振型中，以相同振幅同向运动，中间弹簧无变形；第二振型中，以相同振幅反向运动，中间弹簧的中点静止不动。2、自由振动例2两个相同的单摆用弱弹簧k相连，如图。当两摆在铅垂位置时，弹簧不受力。试求振系在同一铅垂平面内进行微幅振动的固有频率。解：取偏角θ1与θ2，反时针为正，偏角很小，令

5、sinθ=θ,cosθ=1.弹簧伸长a(θ2-θ1),弹性力ka(θ2-θ1).各力分别对悬点O1与O2取矩，得微分方程代入微分方程，得可得，振幅比2、自由振动频率方程求解p22、自由振动第一振型：第二振型：2、自由振动双摆第一第二振型单摆第一第二振型3、车辆的振动只考虑车体的上下振动与俯仰运动，即车体质心的垂直位移x和车体水平的转角θoo’车体静平衡位置；前后弹簧刚度k1,k2;两弹簧到质心距离l1,l2;车体重mg；绕水平质心轴的转动惯量J。瞬时t，车体仰角θ，质心向下位移x，则前后弹簧分别压缩（x-l2θ）与（x+

6、l1θ）由牛顿定律，有移项整理，得变量x与θ一般不是彼此独立地，车体上下振动势必引起俯仰振动，反之亦然。只有k1l1=k2k2时，变量x与θ独立，可以单独发生，如火车。3、车辆的振动令简化微分方程，得设解的形式为3、车辆的振动代入，得振幅比频率方程3、车辆的振动求解p2由于ae-b2>0,故p12与p22都为正数，振系有两个固有频率3、车辆的振动第一振型：第二振型：3、车辆的振动例5.3-1.国产SH760型小轿车的有关数据如下：前后轮轴之间的距离l=2.83米，空车满载前轮悬挂质量（单轮）36.5公斤410公斤后轮悬挂

7、质量（单轮）305公斤445公斤前轮悬挂刚度（单轮）20.5公斤/厘米20.5公斤/厘米后轮悬挂刚度（单轮）22.5公斤/厘米22.5公斤/厘米迴转半径ρρ2≈0.95l1l2试估计在满载时的上述固有频率p1与p2.解：前轮悬挂总重2×410=820公斤前轮悬挂总重2×445=890公斤汽车总重mg=1710公斤3、车辆的振动质心G至前轮轮轴的水平距离质心G至后轮轮轴的水平距离刚度系数k1=2×20.5=41.0公斤/厘米k2=2×22.5=45.0公斤/厘米3、车辆的振动迴转半径ρ为3、车辆的振动故3、车辆的振动4、用

8、初始条件表示的振动一个多自由度系统究竟按什么方式进行自由振动，决定于运动的初始条件。二自由度振系一般的自由振动：频率p1与p2及振幅比μ1与μ2都位移决定于振系参数；而，四个任意常数振幅X11与X12以及相角φ1与φ2，决定于初始条件。二自由度振系有四个初始条件：T=0时，4、用初始条件表示的振动以此系统为例主振型，