两自由度系统的振动课件.ppt

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1、返回首页TheoryofVibrationwithApplications引言两自由度系统的无阻尼自由振动微分方程固有频率与振型不同坐标系下的运动微分方程耦合摆与拍振两自由度系统的振动1返回首页TheoryofVibrationwithApplications两自由度系统的振动—引言多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。汽车左右对称，化为平面系统汽车具有前后悬架，上下运动、俯仰运动2返回首页TheoryofVibrationwithApplications两自由度系统的振动—引言3返回首页Theory

2、ofVibrationwithApplications两自由度系统的振动—引言多自由度系统的特点：各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往往导致整个系统的振动。运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求解联立方程。4返回首页TheoryofVibrationwithApplications自由振动微分方程取两物体为研究对象，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。在水平方向的受力如图示，由牛顿第二定律得两自由度的弹簧质量系统。两物体均作直线平移，略去摩擦力及其它阻尼。两自由度系统的振动无阻尼自由振动微分方程5返回首页TheoryofVibrati

3、onwithApplications质量矩阵刚度矩阵质量影响系数刚度影响系数加速度列阵坐标列阵两自由度系统的振动无阻尼自由振动微分方程6返回首页TheoryofVibrationwithApplications根据微分方程的理论，设方程的解为这组解可写成以下的矩阵形式代入微分方程后，化简可得代数齐次方程组两自由度系统的振动无阻尼自由振动微分方程7返回首页TheoryofVibrationwithApplications系数行列式等于零这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程determinantiszerocharacteristicequatio

4、n两自由度系统的振动固有频率与振型8返回首页TheoryofVibrationwithApplications它的展式为则特征方程可改写为这就是特征方程的两组特征根eigenvaluesandeigenvectoes。特征根是两个大于零的不相等的正实根两自由度系统的振动固有频率与振型正值、小于9返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsω1、ω2就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低的频率ω1称为第一阶固有频率；较高的频率ω2称为第二阶固有频率。由式看出，固有频率ω1、ω2与运动的初始条件无关，仅与振动系统固有频率的

5、物理特性，即物体的质量、弹性元件的刚度有关。两自由度系统的振动固有频率与振型10返回首页TheoryofVibrationwithApplications第一主振动第二主振动将固有频率ω1代入方程的解，得振型两自由度系统的振动固有频率与振型11返回首页TheoryofVibrationwithApplications第二主振型第一主振型振幅比theratiooftheamplitudes由得，两方程线性相关，A1、A2不独立。两自由度系统的振动固有频率与振型12返回首页TheoryofVibrationwithApplications系统作主振动时，

6、任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。将ω1、ω2之值代入，得这表明，在第一主振动中，质量m1与m2沿同一方向运动；在第二主振动中m1、m2的运动方向则是相反的。系统作主振动时，各点同时经过平衡位置，同时到达最远位置，以与固有频率对应的主振型作简谐振动。两自由度系统的振动固有频率与振型13返回首页TheoryofVibrationwithApplications根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即由运动的初始条件确定。写成矩阵形式两自由度系统的振动固有

7、频率与振型14返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsk3x2例1试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1＝k2＝k3＝k，物体的质量m1＝m，m2＝2m。分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示，它们的运动微分方程分别为解：（1）建立运动微分方程式两自由度系统的振动例题15返回首页TheoryofVibrationwithApplications质量矩阵刚度矩阵将M和K代入频率方程，得系统的第一阶和第二阶固有频率为（

8、2）解频率方程，求ωi两自由度系统的振动例题16返回首页TheoryofVibrationwithAppli