4、式（化导数为差商）（1）由下面的常微分方程求解函数值y(xk)5设[a,b]n等分，xk=x0+kh，k=1,...,n，h为步长操作方法：将xk处的导数y’(xk)近似地用差商表示①用向前差商表示：代入微分方程得：或者：——此即欧拉公式xkxk+16②用向后差商表示：或者：——后退欧拉公式③用中心差商表示：xk-1xkxk+17（2）欧拉公式的几何意义：——中点欧拉公式ynxn=boy0yxa=x0x1x2x3y3y1y28从欧拉公式求解y(xk)的过程来分析：求解过程从边界条件y
5、x0=y0即y(x0)=y0开始：>>求y(x1)：以y1=y0+hy’(x0)=y0+hf(x
6、0,y0)作为近似值，相当于从(x0,y0)取：为斜率作直线，与x=x1交于(x1,y1)>>求y(x2)：以y2=y1+hy’(x1)=y1+hf(x1,y1)作为近似值，相当于从(x1,y1)，取：为斜率作直线，与x=x2交于(x2,y2)…………故：欧拉法又称欧拉折线法。9例用欧拉法求解常微分方程初值问题：解：由微分方程可得f(x,y)=y2取h=0.1，[0.0,0.4]被x0=0.0,x1=0.1,x2=0.2,x3=0.3,x4=0.4分成4等分。由欧拉公式yk+1=yk+hf(xk,yk)，从y0=1开始，依次计算yk的值：y1=1+0.1×12=1.1y2=1.1
7、+0.1×1.12......102、从数值积分角度理解欧拉公式将常微分方程：在区间[xk,xk+1]上求积分如下：即：通过数值积分法，从y
8、x0=y0可逐渐求出yk，以作为y(xk)的近似值。11（1）用矩形公式作近似计算：f(xk+1,yk+1)f(xk,yk)xkxk+1f(xk+1,yk+1)xkxk+1f(xk,yk)取小矩形面积：yk+1-yk(xk+1-xk)f(xk,yk)=hf(xk,yk)——即得欧拉公式12取大矩形面积yk+1-yk(xk+1-xk)f(xk+1,yk+1)=hf(xk+1,yk+1)——即得后退欧拉公式（2）用梯形积分作近似计算：f(x
9、k+1,yk+1)f(xk,yk)xkxk+113——此式称为梯形公式。在梯形公式中，计算yk+1时，计算式中含有未知的yk+1，故梯形公式又称为——隐式公式。相对而言，欧拉公式又称为——显式公式。隐式公式显式公式14实际应用中将梯形公式与欧拉公式结合使用：表示，然后代入梯形公式作迭代计算：首先由欧拉公式求出yk+1的一个初值，以更常用的方法是：若步长h选取合适，只用一次迭代计算即可。显式与隐式的结合表示为：15此式称为——预估-校正公式：预估—由欧拉公式求yk+1的初值的过程；校正—代入梯形公式迭代计算1次的过程。用预估-校正公式求解常微分方程的方法即为——改进的欧拉法。例用改
10、进欧拉法求解常微分方程初值问题：16解：由微分方程可得f(x,y)=y2取h=0.1，[0.0,0.4]被x0=0.0,x1=0.1,x2=0.2,x3=0.3,x4=0.4分成4等分。由改进欧拉公式，从y0=1始依次计算yk的值：预估：y1=y0+hf(x0,y0)=1.0+0.1×1.02=1.1，再代入梯形公式校正：y1=y0+0.5*h*[f(x0,y0)+f(x1,y1)]=1+0.5×0.1×[12+1.12]…………17解：由微分方程可得f(x,y)=x-y+1取
