4、式(化导数为差商)(1)由下面的常微分方程求解函数值y(xk)5设[a,b]n等分,xk=x0+kh,k=1,...,n,h为步长操作方法:将xk处的导数y’(xk)近似地用差商表示①用向前差商表示:代入微分方程得:或者:——此即欧拉公式xkxk+16②用向后差商表示:或者:——后退欧拉公式③用中心差商表示:xk-1xkxk+17(2)欧拉公式的几何意义:——中点欧拉公式ynxn=boy0yxa=x0x1x2x3y3y1y28从欧拉公式求解y(xk)的过程来分析:求解过程从边界条件y
5、x0=y0即y(x0)=y0开始:>>求y(x1):以y1=y0+hy’(x0)=y0+hf(x
6、0,y0)作为近似值,相当于从(x0,y0)取:为斜率作直线,与x=x1交于(x1,y1)>>求y(x2):以y2=y1+hy’(x1)=y1+hf(x1,y1)作为近似值,相当于从(x1,y1),取:为斜率作直线,与x=x2交于(x2,y2)…………故:欧拉法又称欧拉折线法。9例用欧拉法求解常微分方程初值问题:解:由微分方程可得f(x,y)=y2取h=0.1,[0.0,0.4]被x0=0.0,x1=0.1,x2=0.2,x3=0.3,x4=0.4分成4等分。由欧拉公式yk+1=yk+hf(xk,yk),从y0=1开始,依次计算yk的值:y1=1+0.1×12=1.1y2=1.1
7、+0.1×1.12......102、从数值积分角度理解欧拉公式将常微分方程:在区间[xk,xk+1]上求积分如下:即:通过数值积分法,从y
8、x0=y0可逐渐求出yk,以作为y(xk)的近似值。11(1)用矩形公式作近似计算:f(xk+1,yk+1)f(xk,yk)xkxk+1f(xk+1,yk+1)xkxk+1f(xk,yk)取小矩形面积:yk+1-yk(xk+1-xk)f(xk,yk)=hf(xk,yk)——即得欧拉公式12取大矩形面积yk+1-yk(xk+1-xk)f(xk+1,yk+1)=hf(xk+1,yk+1)——即得后退欧拉公式(2)用梯形积分作近似计算:f(x
9、k+1,yk+1)f(xk,yk)xkxk+113——此式称为梯形公式。在梯形公式中,计算yk+1时,计算式中含有未知的yk+1,故梯形公式又称为——隐式公式。相对而言,欧拉公式又称为——显式公式。隐式公式显式公式14实际应用中将梯形公式与欧拉公式结合使用:表示,然后代入梯形公式作迭代计算:首先由欧拉公式求出yk+1的一个初值,以更常用的方法是:若步长h选取合适,只用一次迭代计算即可。显式与隐式的结合表示为:15此式称为——预估-校正公式:预估—由欧拉公式求yk+1的初值的过程;校正—代入梯形公式迭代计算1次的过程。用预估-校正公式求解常微分方程的方法即为——改进的欧拉法。例用改
10、进欧拉法求解常微分方程初值问题:16解:由微分方程可得f(x,y)=y2取h=0.1,[0.0,0.4]被x0=0.0,x1=0.1,x2=0.2,x3=0.3,x4=0.4分成4等分。由改进欧拉公式,从y0=1始依次计算yk的值:预估:y1=y0+hf(x0,y0)=1.0+0.1×1.02=1.1,再代入梯形公式校正:y1=y0+0.5*h*[f(x0,y0)+f(x1,y1)]=1+0.5×0.1×[12+1.12]…………17解:由微分方程可得f(x,y)=x-y+1取