计算机图形学 第5章 曲线曲面ppt课件.ppt

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1、5.3贝齐尔曲线贝齐尔（Bézier）曲线是构造自由型曲线最重要和最基本的方法之一，它是由法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔于1962年提出的。贝齐尔曲线是一种以逼近为基础的参数多项式曲线，具有许多优良的性质，贝齐尔方法把函数逼近和几何表示有机结合，使它特别适合形状设计。而且数学处理方法简单，易于被设计人员所接受。2021/9/91与参数样条曲线不同，贝齐尔曲线是由一组顶点确定的多边形所定义，如图。改变顶点位置曲线的形状就会发生变化，所以这些顶点称为控制点或贝齐尔点，相应的多边形称为控制多边形或贝齐尔多边形。控制多边形控制顶点2021/9/9

2、2给定共n+1个控制顶点，则n次贝齐尔曲线其中称为伯恩斯坦基函数。5.3.1贝齐尔曲线的表达式2021/9/93并约定：若l>k或k0,l<0,则这里用到组合数2021/9/94伯恩斯坦基函数（n=3）2021/9/951.一次贝齐尔曲线由上述表达式不难导出一次、二次和三次贝齐尔曲线的数学表示式，分为伯恩斯坦基、幂基和矩阵形式三种。当n=1时，有两个控制顶点，其数学表示式其矩阵形式2021/9/96一次贝齐尔曲线2021/9/972.二次贝齐尔曲线n=2时，有三个控制顶点，其数学表示式其矩阵形式2021/9/98二次贝齐尔曲线2021/

3、9/993.三次贝齐尔曲线n=3时，有四个控制顶点，其数学表示式其矩阵形式2021/9/910三次贝齐尔曲线的图形2021/9/911一般贝齐尔曲线的幂基表达式2021/9/912一般形式贝齐尔曲线的矩阵表达式其中称为变换矩阵，它是下三角阵，其元素为2021/9/913各种形式贝齐尔曲线的说明矩阵形式在数学上等价于多项式形式，它在用于与其它曲线互相转换时给出了清楚的关系和带来处理上的方便。但在计算机实现时，采用直接矩阵相乘并不方便。幂基形式的多项式曲线几何意义不明显，并且在数值上不如伯恩斯坦基形式稳定。但在幂基形式下，采用嵌套乘法格式计算

4、曲线上一系列点时，其速度很快。2021/9/914嵌套乘法格式示例2021/9/9155.3.3贝齐尔曲线的性质伯恩斯坦基函数为贝齐尔曲线带来了许多优良的性质。1.端点性质贝齐尔曲线的首末端点与控制多边形的首末端点重合，即2021/9/9165.3.3贝齐尔曲线的性质2021/9/9172.导矢性质贝齐尔曲线的首末端点k阶导矢分别与控制多边形的首末k条边有关，与其它边无关。例如，n次贝齐尔曲线首末端点的一阶导矢为显然只分别与边有关。5.3.3贝齐尔曲线的性质2021/9/918二阶导矢为5.3.3贝齐尔曲线的性质2021/9/919贝齐尔

5、曲线的这个性质使得我们在对原曲线进行仿射变换（旋转、平移、比例、错切等）时，只需对原表示式中系数矢量执行同样的变换，再计算需绘制或显示的点，而不必先计算这些点后再进行变换。这样就节省了大量的变换计算，提高了图形的生成速度。3.几何不变性5.3.3贝齐尔曲线的性质2021/9/9204.对称性将贝齐尔控制多边形顺序取反，定义的是同一条曲线，仅仅是曲线方向取反。5.凸包性质贝齐尔曲线的凸包性质是指贝齐尔曲线恒位于它的控制顶点所确定的凸包内，如图。这一性质确定了曲线的所在范围，使得设计人员预先就对曲线的大致形状心中有数。5.3.3贝齐尔曲线的性

6、质2021/9/921凸包性质5.3.3贝齐尔曲线的性质2021/9/9226.变差减少性质任意平面与贝齐尔曲线的交点数不会超过它与控制多边形的交点数。这一性质说明：贝齐尔曲线的波动比其控制多边形小；定义平面贝齐尔曲线的控制多边形是凸的(指连接首末顶点所构成的封闭多边形为凸），则所定义的平面贝齐尔曲线也是凸的，即所谓凸性定理。5.3.3贝齐尔曲线的性质2021/9/9237.移动一个控制顶点对曲线所产生的影响移动一个控制顶点对整条曲线都会产生影响，其中对产生最大的影响。2021/9/9244.3贝齐尔曲线的线性运算这一节介绍的德卡斯特里奥

7、(deCosteljau)算法把一个复杂的几何运算转化为一系列线性运算。计算简单可靠，具有通用性，易于在计算机上实现。2021/9/925上式中k为递推级数。每进行一级递推，控制顶点少一个。n级递推后，只剩下一个中间顶点，即为曲线上一点。这一过程表示为如图所示的三角阵列。当从0变化到1，就扫出了一条由原始顶点定义的n次贝齐尔曲线。这一算法对给定参数t计算曲线上一点p(t)特别有效。它是计算贝齐尔曲线的基本算法和标准算法。2021/9/926德卡斯特里奥算法2021/9/927德卡斯特里奥算法的C程序voidrecurence(intk,i

8、ntn,floatt,floatb[][2],floatpt[]){floatb1[N][2];inti,j,l;/*将控制点存入临时数组*/for(i=0;i<=n;i++)for(l=0;