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1、第五章曲线和曲面5.1曲线的数学表示1）显示表示：y=f(x)2）隐式表示：f(x,y)=03）参数表示：P(t)=[x(t),y(t)]在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性，主要表现在：（1）容易满足几何不变性（与坐标系的选取无关）的要求。（2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。（3）可对参数方程直接进行几何变换，而不需要逐点变换。（4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。（5）便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间中去。（6）规格化的参数变量t∈[0,1]，
2、使得界定曲线、曲面的范围十分简单。（7）易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。5.2曲线分析1）曲线上的活动坐标架设曲线为P(t)=[x(t),y(t),z(t)]，则：切矢量：P’(t)（当t为弧长时是单位矢），单位切矢记为T。法矢量：过曲线上任意一点，以切矢为法线的平面称为法平面。主法矢：当以弧长为参数时，切矢的导矢是一个与切矢垂直的矢量，其单位矢称为主法矢，记为N。副法矢（记为B）B=T×NT(单位切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架；N、B构成的平面称为法平面；N、T构
3、成的平面称为密切平面（它与曲线最贴近）；B、T构成的平面称为从切平面。对于一般参数t，有：2）曲线的曲率和挠率曲率：由于T’(s)与N平行，令T’(s)=κN,κ(kappa)称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。κ恒为正，又称为绝对曲率。κ曲率的倒数ρ=1/κ，称为曲率半径。挠率：由B(s)·Ｔ(s)=0，两边求导，可得：B‘(s)·Ｔ(s)=0；又由
4、B(s)
5、2=1，两边求导，可得：B‘(s)·B(s)=0；所以，B’(s)∥N(s)，再令B’(s)=-τN(s)，τ(tau)称为挠
6、率，其几何意义是副法矢方向对于弧长的转动率。挠率大于0、等于0和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。对于一般参数t，可以推导出曲率和挠率的计算公式如下：TNB注意：曲率和挠率是几何量，其值与参数的选择无关。示例：左旋右旋螺旋线当圆柱轴线平放时，用手握住圆柱并伸直拇指，拇指代表动点移动的方向，其余四个手指代表动点的转动方向，符合右手为右旋螺旋线，如图(ɑ)所示；符合左手为左旋螺旋线，如图(b)所示。(ɑ)右旋螺旋线(b)左旋螺旋线5.3曲面与曲面分析1）曲面的表示P=P(u,v)，u
7、1≤u≤u2，v1≤v≤v2固定其中一个参数例如v=v0，则曲面变成单参数u的矢函数P=P(u,v0)，表示曲面上的一条以u为参数的参数曲线，简称u线。类似地，P=P(u0,v)表示曲面上的一条v线。所以，参数曲面上存在两组等参数线，即一组u线和一组v线。在曲面上一点P(u0,v0)处，总存在一条u线和一条v线。u线在该点有一个切矢Pu(u0,v0)，称为u向切矢。v线在该点也有一个切矢Pv(u0,v0)，称为v向切矢。这两个切矢的矢量积，决定了该点处的曲面法矢n(u0,v0)。将曲面上的每一点P(u,
8、v)，沿法矢方向n移动一个固定距离d，就得到该曲面的一个等距面P’(u,v)=P(u,v)+dn(u,v)。如果曲面的两族等参数线：u线与v线中，有一组是直线，则称该曲面为直纹面。它可以看成直线段在空间连续运动扫出的轨迹。直纹面上的直线族称为母线。在直纹面上取一条曲线与所有母线相交，称之为准线。在准线ρ=ρ(u)每一点的母线方向上给定一个非零矢量τ(u)。则直纹面方程可以写为P(u,v)=ρ(u)+vτ(u)。当τ(u)为固定时，直纹面为柱面。当τ(u)为变矢量，且准线缩为一点时，直纹面为锥面。机翼表面
9、通常为直纹面。如果直纹面沿它的每一条母线只有唯一的切平面（或者说沿直母线,法向量平行），则称该直纹面为可展曲面。可展曲面可以通过简单的弯曲来展平。圆柱面和圆锥面都是可展的，曲线的切线曲面（曲线上所有点的切线的集合）也是可展的，但机翼的直纹面就不一定。2）直纹面与可展曲面单叶双曲面和双曲抛物面都不是可展曲面3）曲面的曲率性质研究曲面的弯曲程度，通常是通过研究法截线的曲率来实现的。通过曲面上一点法线的平面与曲面的交线称为法截线，法截线的曲率κn称为法曲率，围绕法线旋转的每一个平面会产生一个法截线，因此曲面上
10、一点的法曲率有无穷多个，这些法曲率的最大值和最小值称为主曲率，而且两个主曲率所在的方向是相互垂直的，称为主方向，其它方向的法曲率可以由主曲率计算：Κn＝κ1cos2θ＋κ2sin2θ其中θ为该方向与主曲率的κ1所在主方向的夹角。两个主曲率的乘积称为高斯曲率（Gaussian）或全曲率、总曲率。两个主曲率的均值称为平均曲率或中曲率。如果曲面上的一条曲线，其切线方向总是在一个主方向，这样的曲线称为曲率线。5.4曲线的插值、逼近与拟合插值：给定一
