计算机图形学-曲线和曲面ppt课件.ppt

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1、第四章曲线和曲面第一节曲线和曲面表示的基础知识第二节Hermite多项式第三节Coons曲面第四节Bezier曲线和曲面第五节B样条曲线和曲面第一节曲线和曲面表示的基础知识1.显式、隐式和参数表示①显式：y=f(x)不能表示封闭曲线或多值曲线（圆）②隐式：f(x,y)=0,f(x,y,z)=0球面显式隐式表示的缺点（1）与坐标轴相关的，不便于坐标变换；（2）无法解决斜率为无穷大的情况；（3）对于空间复杂曲线曲面很难表示（4）不便于计算和编程③参数表示（解决上述问题）空间曲线：，，矢量表示是：对参数t求导：曲面:曲线或曲面的某一部分，可以简单地用a≤t≤b界定它的范围空间直线段P1[

2、x1,y1],P2[x2,y2]P(t)代表曲线上的一点P(t)=P1+(P2-P1)t=(1-t)P1+tP2参数方程具有如下优点：有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。便于坐标变换便于处理斜率为无限大的问题，不会因此中断计算代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，便于向高维空间扩展。t∈[0,1],直接定义了边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。易于用矢量和矩阵表示，从而简化了计算。基本概念1.插值:要求构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插（interpolation）。给定函数f(x)在区间[a,b]中互异的n个点的值f(xi)i=1,2,…

3、n,基于这些数据寻找某一个函数，要求，为f(x）的插值函数，xi为插值节点(1)线性插值函数f(x)在两个不同点x1,x2的值，y1=f(x1),y2=f(x2)用线性函数近似代替y=f(x),选择a,b使则称为f(x)的线性插值函数(2)抛物线插值(二次插值）设已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3,要求构造函数在节点xi处有2,逼近构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼近（approximation）。常用方法最小二乘法假设已知一组型值点（xi,yi),i=1,2,…n,要求构造一个m（m

4、F(x）逼近这些型值点。偏差的平方和最小：或加权平方和最小：令F(x)为一个m次多项式最小二乘法就是定出ai使偏差平方和最小3.参数曲线的代数形式和几何形式一条三次参数曲线的代数形式：矢量形式：给定P(0),P(1),以及P’(0),P’(1)解四个方程，求得参数令参数曲线的几何形式矩阵形式表示参数曲线：P=TA其中P=FBP=TMB表示一条参数曲线参数连续性一函数在某一点x0处具有相等的直到k阶的左右导数，称它在x0处是k次连续可微的，或称它在x0处是k阶连续的，记作Ck。几何上C0、C1、C2依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。参数曲线的可微性称为参数曲线的连续性。几

5、何连续性两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处具有Ck连续性，则称它们在该点处具有k阶几何连续性，记作Gk。零阶几何连续G0与零阶参数连续C0是一致的。一阶几何连续G1指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向相同，大小不同。二阶几何连续G2指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。4.曲线段间和连续性定义（1）Q1(1)=Q2(0),则Q1(t)和Q2(t)在P处有和连续性（2）Q1(1)和Q2(0）在P处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小不等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有连续性（3）Q1(1)和Q2(0）在P处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小相等，

6、则Q1(t)和Q2(t)在P处有连续性(4)Q1(1)和Q2(0）在P处已有连续且大小方向均相同，则Q1(t)和Q2(t)在P处有连续性推广之，Q1(1)和Q2(0）在P处已有连续，若在P处大小和方向均相同，则说Q1(t）和Q2(t)在P处具有连续性(5).Q1(1)和Q2(0）在P处已有连续且方向相同但大小不等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有连续性5.光顺光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应该是：（1）具有二阶几何连续（G2）；（2）不存在多余拐点和奇异点；（3）曲率变化较小第二节Hermite多项式已知函数f(t)在k+

7、1个点{ti}处的函数值和导数值{f(j)(ti)}，i=0,1,…,k，j=0,1,…,mi-1，要求确定一个N=m0+m1+…+mk-1次的多项式P(t)，满足下面的插值条件：1.Lagrange插值法:已知f(t)在k+1个点的函数值f(ti),求一个k次多项式使p(ti)=f(ti)例：k=2,m0=m1=m2=1已知函数f(t)在三个点t0，t1，t2，的函数值f(t0),f(t1),f(t2),求三次多项式P(t)混合函数如下：2.已知表示一条曲线的某个函