计算机图形学第8讲曲线曲面.ppt

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1、曲线与曲面(CurvesandSurfaces)1本章目标曲线的表示方法重点掌握Bezier曲线学会使用OpenGL的函数2为什么要研究曲线与曲面计算机图形学两大基本任务建模绘制3为什么要研究曲线与曲面建立复杂模型一个球面复杂曲面电话人脸赛车4为什么要研究曲线与曲面5为什么要研究曲线与曲面使用曲面曲线的好处控制物体形状建模修改保证光滑与连续性可导性易于绘制6主要内容参数曲线基础参数多项式曲线三次Hermite曲线Bezier曲线Bezier曲面OpenGL相关函数7参数曲线基础曲线的表示形式非参数表示和参数表示非参数

2、表示显式表示坐标间建立函数关系不能建立多值曲线隐式表示看做是两曲面的交坐标变量间可以多对18曲线的表示形式参数表示参数方程参数表示的矢量表示t规范到[0，1]:矢量表示：P=[x,y,z]T，P(t)=[x(t),y(t),z(t)]Tt可以表示时间、角度等量9曲线的表示形式如：直线方程的矢量表示如：圆P0P1P(t)01tt反映了P在P0P1间的相对位置θ反映了半径与X轴的夹角P(θ)10曲线的表示形式参数表示的优点容易确定曲线边界。由参数区间确定表示形式不变性。不依赖于坐标系的选取表示能力强。利于控制点来控制曲线

3、形状，如后面将要学到的Bezier曲线11切矢量、法矢量、曲率和绕率位置矢量矢量表示：P＝P(t),0≤t≤1参数方程导数正则点：k＝1时，对t＝t0，P'(t0)≠0正则曲线：所有点是正则点12切矢量、法矢量、曲率和绕率切矢量（tangentvector）参数t递增一个单位时三个坐标变量的变化量弧长对正则曲线，定义弧长：13切矢量、法矢量、曲率和绕率弧长参数表示14切矢量、法矢量、曲率单位切矢量记T(s)为P＝P(s)上任意一点的切矢量。则T(s)为单位切矢量15切矢量、法矢量、曲率和绕率法矢量对等式两边求导后有与

4、垂直主法矢量(normal)副法矢量(binormal)16法矢量（normalvector）密切平面(osculatingplane)T、N构成切平面(tangentplane)B、T构成法平面(normalplane)N、B构成切矢量、法矢量、曲率和绕率切平面17切矢量、法矢量、曲率和绕率18切矢量、法矢量、曲率和绕率曲率(curvature)曲线的弯曲程度曲率半径P(s)点处的曲率19切矢量、法矢量、曲率和绕率绕率(Torsion)对两边求导对两边求导B'与N平行度量曲线的扭曲程度B'与T垂直B'与B垂直20切

5、矢量、法矢量、曲率和绕率两边求导后Frenet–Serret公式21参数连续性与几何连续性参数连续性传统的、严格的连续性曲线P=P(t)在t＝t0处n阶参数连续，如果它在t0处n阶左右导数存在，并且满足记为Cn22参数连续性与几何连续性几何连续性直观的、易于交互控制的连续性0阶几何连续称曲线P=P(t)在t=t0处0阶几何连续，如果它在t0处位置连续，即记为：G01阶几何连续称曲线P=P(t)在t=t0处1阶几何连续，如果它在t0处GC0，并且切矢量方向连续，即记为：G123参数曲面曲面参数表示曲面上的点曲面上的切向

6、量曲面上的法向量角点24参数连续性与几何连续性几何连续性（续）2阶几何连续*称曲线P=P(t)在t＝t0处2阶几何连续，如果它在t0处（1）G1（2）副法矢量方向连续（3）曲率连续25曲线与曲面参数曲线基础参数多项式曲线三次Hermite曲线Bezier曲线Bezier曲面OpenGL相关函数26参数多项式曲线为什么采用参数多项式曲线？表示最简单理论和应用最成熟n次多项式曲线27参数多项式曲线矩阵表示矢量表示加权和形式缺点Pi没有明显的几何意义Pi与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难Fergusoncurve2

7、8参数多项式曲线参数多项式曲线的矩阵表示矩阵表示矩阵分解几何矩阵G=[G0G1…Gn]控制顶点Gi基矩阵M：MT确定了一组基函数29参数多项式曲线参数多项式曲线的矩阵表示（续）例子：直线段的矩阵表示P0P1控制顶点:P0；P0＋P1基函数:1－t；ttMT30参数多项式曲面矩阵表示矢量表示形式31参数多项式曲线参数多项式曲面的矩阵表示矩阵表示矩阵分解几何矩阵控制顶点GijMUU、MVV分别确定了两组基函数32参数多项式曲线生成方法流程：P（t）＝P0＋P1t+…+Pntn参数离散计算型值点折线连接型值点计算一个型值点

8、的运算量乘法：n(n+1)/2次加法：n次33参数多项式曲线参数多项式曲线的生成（续）Horner迭代算法n次乘法和n次加法34曲线与曲面参数曲线基础参数多项式曲线三次Hermite曲线Bezier曲线Bezier曲面OpenGL相关函数359.3三次Hermite曲线三次Hermite曲线的定义给定4个矢量P0,P1,R0,R1，称满足下列条