计算机图形学-第五章 曲线曲面生成.ppt

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1、第五章曲线曲面的生成5.1曲线的生成5.2曲面的生成本章主要内容曲线曲面的表示方法规则曲线的几种主要形式三次参数样条曲线、三次B样条曲线、三次Bezier曲线Coons曲面、Bezier曲面、B样条曲面在工程上，曲线曲面的应用十分广泛。如根据实验、观测或数值计算获得的数据来绘制出一条光滑的曲线，以描述事物的各种规律。在汽车、飞机、船舶的等产品的外形设计中，要用到大量的曲线和曲面来描述其几何形状。表示曲线和曲面的基本方法有两种：参数法和非参数法。（1）非参数法y=f(x)显函数(不能表示封闭或多值

2、的曲线）f(x，y)=0隐函数（方程的根很难求）（2）参数法x=f(t)y=g(t)求导很方便，不会出现计算上的困难曲线曲面曲线曲面理论的发展1963Ferguson：三次参数曲线1964Coons：Coons曲面1971Bezier:Bezier曲线、曲面1972DeBoor：B样条标准计算方法1974Gordon/Risenfeld:B样条曲线曲面工程上常用的曲线可以分为两类:规则曲线不规则曲线(拟合曲线或自由曲线)。5.1曲线的生成规则曲线可以用函数或参数方程直接表示的曲线。二维平面x=f

3、(t)y=g(t)空间曲线x=f(t)y=g(t)z=h(t)参数t在一定区间变化，可以求得曲线上不同的坐标点，连接这些坐标点就能在屏幕上画出曲线，t变化间隔越小，曲线画得越精细。例如：椭圆x=acosθy=bsinθθ=0～360°变化△θ=1°规则曲线圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线和双曲线。渐开线：与圆相切的直线按一定方向在圆周上做滚动，该直线上一点P的轨迹摆线：平摆线、外摆线、内摆线平摆线：已知圆在X轴上作纯滚动，圆周上一点P的轨迹外摆线：一个动圆（在基圆外侧）在基圆上作滚动时，该圆上一点P的

4、轨迹内摆线:一个动圆（在基圆内侧）在基圆内部做滚动时，该圆上一点P的轨迹工程中除了用到前述的规则曲线外，还常常遇到这样的情况：已知一些计算值或测试数据，要构造一条光滑曲线，通过或贴近这些离散点数据，这样构造出来的曲线称为拟合曲线（自由曲线）。拟合曲线拟合曲线通常采用二次或三次参数曲线的形式，我们主要介绍三次拟合曲线。通过离散点贴近离散点拟合曲线曲线的拟合：完全通过或比较贴近给定型值点来构造曲线的方法。光滑连接：两条曲线段在连接点出有相同的切线。位置连续：两条曲线段有一个端点位置相同。一阶导数连续

5、：在连接点处切线是相同的。二阶导数连续：在连接点处有相同的曲率。主要三类拟合曲线：Ferguson曲线（三次参数样条曲线段）三次Bezier曲线B样条曲线拟合曲线参数三次曲线段可以描述成：P(t)=At3+Bt2+Ct+D=t3t2t1ABCD=t3t2t1MT0≤t≤1Ferguson曲线P(t)=P(0)=Q1=P(1)=Q1=P(0)=Q0=P(1)=Q1=3t22t100001111100103210MMMMMQ0Q0Q1Q1。。。。。。。Q0Q1Q0Q1=000111110011321

6、0MQ0Q0Q1=2-211-3-3-2-100101010Q1M。。。。P(t)=t3t2t1Q0Q0Q12-211-3-3-2-100101010Q1。。0≤t≤1Ferguson曲线Ferguson曲线曲线形状由两端点的位矢和切矢控制端点的边界条件发生变化曲线随之变化缺少灵活性和直观性，使用不方便Ferguson曲线需要知道起点、终点的切矢，这在实际工作中很难确定，如果将切矢用位矢代替，问题就会迎刃而解，Bezier就是从这点入手的。三次Bezier曲线的构造:Q01=Q0+1/p*Q0Q

7、0=p(Q01-Q0)Q10=Q1+1/p*Q1Q1=p(Q10-Q1)代入上式。。。。Bezier曲线Q0Q0Q1Q1。。Q01Q10。P(t)=t3t2t12-pp-p2+p-3+2p-2pp3-p-pp001000Q0Q10Q1Q010≤t≤1P(t)=t3t2t12-211-33-2-100101000Q0Q1P(Q01-Q0)P(Q10-Q1)0≤t≤1Bezier曲线由A0(t)+A1(t)+A2(t)+A3(t)＝1A0(t)≥0A1(t)≥0A2(t)≥0A3(t)≥0得出：0≤

8、p≤3p=3时，逼近性最好。柯西条件:（满足凸包性要求）＝A0(t)A1(t)A2(t)A3(t)Q0Q10Q11Q01=A0(t)Q0+A1(t)Q01+A2(t)Q10+A3(t)Q1P(t)Bezier曲线Y(t)=t3t2t13-630-33001000Y0Y1Y2Y3-13-310≤t≤1P(t)=t3t2t13-630-33001000Q0Q1Q2Q3-13-310≤t≤1X(t)=t3t2t13-630-33001000X0X1X2X3-13-310≤t≤1Bezier曲线X(t)