第4章曲线曲面ppt课件.ppt

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1、曲线与曲面在CAD中经常要处理复杂的自由形状曲线和曲面,特别是在汽车、航空航天、船舶、轻工等领域的CAD中,自由曲线和曲面设计是一个重要问题。CAD技术采取的基本做法是:给出一系列离散点的空间坐标;将上述离散点分段,并选择某个函数模式计算每一小段内任意点的坐标。上述计算过程又称为拟合或逼近,所选择的函数模式则称为拟合函数或逼近函数。应用领域一曲线、曲面的参数表示1.曲线曲面的数学表示形式在数学上,曲线曲面常采用显式、隐式和参数几种表示形式。*显式表示显式表示不能表示封闭或多值曲线,如圆等。*隐式表示可以表示多值曲线,如抛物线、椭圆等,但仍存在曲线与坐标轴的选取相关,不便于计算与编程等

2、。*参数表示将曲线或曲面上的点的坐标表示为某参数的函数。与曲线曲面显式和隐式表示法相比较,参数表示法具有如下优点:可方便的表示三维曲线,并有更多的自由度来控制曲线曲面形状;参数表示的曲线曲面与坐标系选择无关;在参数表达式中使用切矢量来代替非参数方程中的斜率,便于处理斜率为无穷大情况;易于用矢量和矩阵表示几何量,从而便于计算机计算与编程。1.曲线曲面的数学表示形式2.参数曲线定义及切矢量、主法矢和曲率一条用参数表示的三维曲线是一个有界的、连续的点集,可表示为曲线的端点在u=0、u=1处,曲线上任一点的位置矢量(坐标)可用矢量P(u)表示切矢量设曲线上Q、R两点,其参数分别为u、u+u,位

3、置矢量分别为P(u)、P(u+u)。矢量P=P(u+u)-P(u)表示连接QR的弦长,当u0时,位置矢量关于参数u的一阶导数矢量称为曲线在该点的切矢量,方向为切线方向。切矢量切矢量单位切矢量所以以弧长为参数的切矢量为单位切矢量。主法矢与曲率主法矢主法矢总是指向曲线凹入的方向。曲率曲率表示切向量沿曲线的变化率,它描述了曲线在某点的弯曲程度。曲率越大,曲线在此点弯曲地越厉害。曲率的倒数称为曲率半径。曲率的计算:3.曲线段间连续性定义在实际应用中,曲线常常以分段形式定义,或由多段曲线拼合而成。关于各曲线段在连接点处的连续性有两种判断标准:参数连续和几何连续。参数连续——判断连接点处曲

4、线方程相对于参数u的各阶导数连续性,如果具有n阶导数,则称曲线n阶参数连续,记为几何连续——判断连接点处曲线方程相对于弧长s的各阶导数连续性,如果具有n阶导数,则称曲线n阶几何连续,记为曲线的参数连续性与参数的选择有关;而几何连续性不依赖于参数的选取,而是反映曲线的具体几何特征。连续性定义在曲线曲面造型中,一般仅讨论和连续。当曲线具有C0连续时,表示曲线在连接点处位置矢量相同;当曲线具有C1连续时,表示前后两个曲线段在连接点处切矢方向相同,大小相等;当曲线具有C2连续时,表示曲线在连接点的二阶导矢相同;G0的含义同C0;G1表示曲线在连接点切矢方向相同,但大小可能不同;G2表示曲线在连接

5、点处具有相同的曲率.Bezier是法国雷诺汽车公司Bezier先生于1962年提出的一种曲线曲面构造方法。Bezier曲线不通过给定的中间离散点,但是设计人员可以容易地通过改变这些离散点的位置来控制和改变拟合的Bezier曲线的形状。因此,给出的离散点又称为控制点。Bezier曲线适宜用于象汽车车身等自由形状的构形设计。二Bezier曲线Bezier曲线拟合实例Bezier曲线方程对于给定的N+1个点,可定义n次Bezier曲线,拟合计算式为:t-参变量,取值范围为0~1;P(t)-任意拟合点的坐标,P(t)=[x(t),y(t)];-给定的第i个点的坐标;-混比函数,反映第i个

6、点对拟合点的影响,它定义为当控制点数为4时,拟合的Bezier曲线是三次多项式函数。将混合函数按照定义计算式展开,经整理可得三次Bezier曲线计算式:Bezier曲线方程Bezier曲线性质零次Bezier曲线就是一个顶点P0;一次Bezier曲线就是连接两个顶点P0与P1的直线;二次Bezier曲线是以P0和P2为端点的抛物线。下面以三次为例说明:端点特征根据三次Bezier曲线的参数表示,有曲线通过给定点列的始点和终点,曲线始点和终点处的切线方向分别与特征多边形的首、末两边重合,其大小为首末两边长的3倍。凸包性(ConvexHull)Bezier曲线恒位于其控制顶点所形成的凸包内几

7、何不变性Bezier曲线的位置与形状仅与其特征多边形顶点位置有关,而与坐标系的选择无关。在几何变换中,只要直接对特征多边形的顶点变换即可,无需对曲线上的每一点变换。全局控制性将给出的控制点循序连接可组成一折线,Bezier曲线光滑地随着该折线的变化而变化。通过改动控制点的配置,控制Bezier曲线的变化趋势。对Bezier曲线,改变一个控制点的位置,将影响整条曲线的形状,所以总控制点数目不宜过多。Bezier曲线性质Bezier曲线

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