曲线与曲面ppt课件.ppt

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1、第九章曲线与曲面Bézier曲线与Bézier曲面样条函数的概念与B样条曲线曲线和曲面1：Bézier曲线2：Bézier曲面1.1:Bézier曲线的定义1.2:Bernstein基函数性质1.3:Bézier曲线的性质1.4:Bézier曲线的矩阵表示1.5:Bézier曲线的拼接1.6:Bézier曲线的离散生成1.7:反算Bézier曲线控制顶点1.8:Bézier曲线的升阶与降阶1.9:有理Bézier曲线2.1:Bézier曲面的定义2.2:Bézier曲面示例2.3:Bézier曲面的离散生成1.Bézier曲线由于

2、几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bézier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。Bézier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。1.1Bézier曲线的定义定义给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0,1,2…，n）则下列参数曲线称为n次Bézier曲线：Bi,n(t)是n次Bernstein基函数

3、，定义为：其中，Pi构成该Bézier曲线P(t)的特征多边形，P0,P1…..Pn称为P(t)的控制顶点；Bézier曲线示例Bézier曲线P(t)与其控制多边形的关系可以这样认为：控制多边形P0P1…Pn是P(t)的大致形状的勾画；P(t)是对P0P1…Pn的逼近；1.2Bernstein基函数性质Bernstein基函数1：正性2：权性具有如下性质：Bernstein基函数性质3：端点性质4：对称性：这是因为：Bernstein基函数性质5：递推性即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数

4、线性组合而成。这是因为：6：导函数四次Bézier曲线的五条调和函数曲线1.3Bézier曲线的性质1.端点的位置：由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P0；当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bézier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。Bézier曲线的性质2：端点的切向量所以当t=0时，P’(0)=n(P1-P0)，当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)，这说明Bézier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。Bézier曲线的性质

5、3：端点的曲率当t=0时，当t=1时，上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。根据曲率公式：得Bézier曲线的性质4：凸包性由于所以当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是。在几何图形上，意味着Bézier曲线P(t)在中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中；Bézier曲线的性质5：几何不变性这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bézier曲线位置与形状与其特征多边形顶点Pi(i=0,1

6、…n)的位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有：（变量u是t的置换）事实上，上式的力学意义是P(t)可作为各点Pi处的重量为的力学系统的中心。中心的位置是不依赖于任何坐标系的。6：保凸性如果平面上的凸控制多边形能导致所产生的曲线为凸曲线，则称这个生成多边形的方法具有保凸性。我们把控制多边形的P0点和Pn点连接起来，如果P0P1…Pn形成一个平面凸多边形，则Bézier曲线P(t)是一段凸的平面曲线。这个性质就是Bézier曲线的保凸性。Bézier曲线的性质Bézier曲线的性质7:变差缩减性若Bézier曲线的特征多边形是一个平面

7、图形，则平面内任意直线与P(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bézier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bézier曲线比特征多边形的折线更光顺。1.4Bézier曲线的矩阵表示一次Bézier曲线当n=1时：矩阵表示是：显然，一次Bézier曲线是连接起点P0和终点P1的直线段。一次Bezier曲线的两条调和函数Bézier曲线的矩阵表示二次Bézier曲线当n=2时，Bézier曲线如下所示：矩阵形式是：此式说明二次Bézier曲线对应一条起点在P0，终点在P2处的

8、抛物线，即有：二次Bézier曲线图示二次Bezier曲线的三条调和函数Bézier曲线的矩阵表示三次Bézier曲线当n=3时，Bézier曲线如下所示：其中，令：则三次Bernstein调和函数是：三次Bézier曲线的矩阵表示如下所示：图示1