第7章自由曲线与曲面ppt课件.ppt

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1、第四章自由曲线与曲面（二）2Bezier曲线1962年，法国雷诺汽车公司P.E.Bezier工程师以“逼近”为基础UNISURF系统1972年雷诺汽车公司正式使用3Bezier曲线（1/19）Bezier基函数--Bernstein多项式的定义三次Bézier曲线的四个混合函数4Bezier曲线（2/19）Bernstein基函数的性质正性权性对称性降阶公式升阶公式5Bezier曲线（3/19）导数积分最大值在t=i/n处取得最大值线性无关性是n次多项式空间的一组基6Bezier曲线（4/19）Bezier曲线的定义n次多项式曲线P(t)称为n次

2、Bezier曲线控制顶点控制多边形P0P1P2P37Bezier曲线（5/19）Bezier曲线的性质端点位置这说明,Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点.P0P1P2P3端点切矢量将伯恩斯坦式对t求导.8在对曲线参数方程求导910Bezier曲线（6/19）导数曲线P0P1P2P3一阶导矢:对于三次Bezier曲线，n=3，有P’(0)=3(P1-P0)P’(1)=3(P3-P2)它说明Bezier在始点和终点处的切线方向与特征多边形的第一条边和最后一条边的走向一致。二阶导矢:当t=0时当t=1时11二阶导失只与相邻的3个顶点有关。事实上

3、，r阶导失只与r+1个相邻点有关，与更远点无关。1213Bezier曲线（7/19）对称性不是形状对称保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将控制点Pi的排序颠倒，曲线形状保持不变假如保持n次Bézier曲线诸顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，即下标为i的点改为下标为n-i的点，则此时曲线仍不变，只不过曲线的走向相反而已。这一性质可证明如下：由伯恩斯坦多项式可以导出：记次序颠倒以后的顶点为，则有此时，设新的Bézier曲线为,则14令n-i=k,则i=n-k,且i=0时，k=n及i=n,k=0，所以再将k换成i,则又因为所以16Bezi

4、er曲线（8/19）凸包性点集的凸包包含这些点的最小凸集Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内17Bezier曲线（10/19）几何不变性曲线的形状仅与特征多边形各顶点的相邻位置有关，而与坐标系的选择无关。平面曲线的变差缩减性若Bezier曲线的特征多边形是一个平面图形，则平面内任意直线与曲线的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数。此性质反映了曲线比其特征多边形的波动要小，也就是说比特征多边形的折线更光顺。18Bezier曲线（11/19）二次Bezier曲线n=2，有3个控制点抛物线P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)19说明二

5、次曲线为抛物线，其矩阵形式为20Bezier曲线（12/19）三次Bezier曲线n=3P0P1P2P3P(0)P(1)21Bezier曲线（13/19）三次Bezier曲线的矩阵表示22Bezier曲线（14/19）递推公式--DeCasteljau算法计算过程几何解释例。利用Bezier的定比分割方法绘制三次Bezier曲线。令u=0.5,并验证你的分割方法是正确的。设由P0,P1,P2,P3控制生成的一条三次Bezier曲线可在u=1/2处分段，分成的两端均为三次Bezier曲线，它们由各自的控制点控制。取P0P1的中点P4，P1P2的中点

6、P5，P2P3的中点P6，P4P5的中点P7，P5P6的中点P8，P7P8的中点P9。则P4=（P0+P1）/2;P5=(P1+P2)/223P6=(P2+P3)/2;P7=(P4+P5)/2=P0/4+P1/2+P2/4;P8=(P5+P6)/2=P1/4+P2/2+P3/2;P9=(P7+P8)/2=P0/8+3P1/8+3P2/8+P3/8下面来说明P9在由P0、P1、P2、P3确定的三次Bezier曲线上，且为u=1/2时的P（1/2），这只需将u=1/2代入P(t).24接着我们还需证明，P(u)(0≤u≤1/2)即为点P0、P4、P7

7、、P9控制生成的Bezier曲线，而P(u)(1/2≤u≤1)即为点P9、P8、P6、P3控制生成的Bezier曲线.设由P0、P4、P7、P9控制生成的Bezier曲线为：将P0、P4、P7、P9代入在曲线P(u)(0≤u≤1/2)中，令u=t/2,则得同理可证通过上述的分割，我们获得折线P0P4P7P9P8P6P3它比折线P0P1P2P3更接近曲线，且P9在曲线上，继续对由P9分成的两段曲线作分割，除获得更接近曲线的折线外，另外还获得曲线上的两个点，分割次数越多，新的折线越逼近曲线。当达到某种精度时，我们可获得的折线近似地表达Bezier曲线

8、。例：试根据下列给定的条件，分割作图画出有关曲线的形状示意图。已知：图(a)所示三次Bezier曲线的控制多边形，共有4个控制点P0P1