第5章曲线与曲面ppt课件.ppt

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1、第二篇几何第6章曲线与曲面6.1基础知识自由曲线和曲面发展过程自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的形状，则沿样条绘制曲线。1963年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面1964-1967年，美国MIT，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲面1971年，法国雷诺汽车，Bezier提出用控制多边形来定义曲线和

2、曲面1974年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德,B样条理论用于形状描述1975年，美国锡拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理B样条80年代，皮格尔和蒂勒,将有理B样条发展成非均匀有理B样条，NURBS方法6.1基础知识从表示形式来看，曲线可分成两大类：规则曲线——自由曲线——可以用标准方程描述的曲线。如圆、椭圆、抛物线、双曲线、渐开线、摆线等无法用标准方程描述的曲线，通常由一系列实测数据点确定。如汽车的外形曲线、等高线等。曲线6.1基础知识从生成算法来看，曲线可分成两大类：拟合型设计型对已经存在的离散点列构造出尽可能光

3、滑的曲线，以直观（而忠实）地反映出实验特性、变化规律和趋势等。设计人员对其所设计的曲线并无定量的概念，而是在设计过程中即兴发挥。6.1.1曲线的表示曲线的表示方法参数表示非参数表示显示表示隐式表示6.1.1曲线的表示显示表示隐式表示6.1.1曲线的表示参数表示参数的含义t：表示时间，距离，角度，比例等等规范参数区间[0，1]6.1.1曲线的表示--以直线为例已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程表示为：直线的隐式方程表示为：6.1.1曲线的表示直线的参数方程表示为：，t∈

4、[0,1]6.1.1曲线的表示1）用参数表示的曲线形状本质与坐标系的选取无关，具有几何不变性；2）有更大自由度来控制曲线的形状；3）容易实现各种线性变换运算；4）曲线的端点、导数等计算简单，避免了无穷大斜率的问题；5）便于曲线的分段描述；6）易于处理多值问题；7）参数的变化约定为[0,1]，自然规定了曲线是有界的。参数表示法的优越性：曲线构造方法插值法逼近法6.1.2插值通过测量或计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的数据点。型值点控制点用来控制或调整曲线形状的特殊点（不一定在曲线上）插值点在型值点或控制点之间插

5、入的一系列点。6.1.2插值插值给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,…,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。6.1.2插值–线性插值线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用线形函数y=Φ(x)=ax+b近似代替，称Φ(x)为f(x)的线性插值函数。6.1.2插值–抛物线插值抛物线插值(二次插值)已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造函数y=Φ(x)=ax2+bx+c,使得Φ(x)在xi处与f(x)在xi

6、处的值相等。6.1.3逼近逼近构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称对这些数据点进行逼近，所构造的曲线称为逼近曲线。用这种方法建立的曲线数学模型只是近似地接近已知的控制点，并不一定完全通过所有的控制点。控制点控制多边形或特征多边形6.1.4拟合拟合：在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求。6.1.5曲线的连续性构造复杂曲线时，可以首先构造一些简单的自由曲线,然后将这些简单曲线段连接成复杂曲线。拼接条件：首先必须有连接点，其次必须在连接点处平滑过渡，即需要满足连续性条

7、件。连续性条件有两种：参数连续性和几何连续性。6.1.5曲线的连续性–参数连续性零阶参数连续性（记作C0）：指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。6.1.5曲线的连续性—参数连续性一阶参数连续性（记作C1）相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数。6.1.5曲线的连续性—参数连续性二阶参数连续性（记作C2）指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶和二阶导数。6.1.5曲线的连续性—几何连续性几何连续性只要求导数成比例，而不是相等。零阶几何连续性（记作G0）：与零阶参数连续性相同，即相邻两个曲线段在交点处有相同的坐

8、标。6.1.5曲线的连续性—几何连续性一阶几何连续性（记作G1）指相邻两个曲线段在交点处的一阶导数成比例，但大小不一定相等。6.1.5曲线的连续性–几何连续性二阶几何连续性（记作G2）指相邻两个曲线段在交点处的一阶和二阶导数成比例，即曲率一致。样条曲线在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各实测点，其它地方自然过渡，然后沿样条画下