数学分析9.2牛顿—莱布尼茨公式.doc

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1、第九章定积分2牛顿—莱布尼茨公式定理9.1：若函数f在[a,b]上连续，且存在原函数F，即F’(x)=f(x)，x∈[a,b]，则f在[a,b]上可积，且(x)dx=F(a)-F(b)，称为牛顿—莱布尼茨公式，常写成：(x)dx=F(x).证：对[a,b]上的任一分割T={a=x0,x1,…,xn=b}，在每个小区间[xi-1,xi]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则分别存在ηi∈(xi-1,xi)，i=1,2,…,n，使得F(b)-F(a)===.∵f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使当x’,x”∈[a,b]且

2、x’-x”

3、<δ时

4、，

5、f(x’)-f(x”)

6、<.于是，当△xi≤║T║<δ时，任取ξi∈(xi-1,xi)，便有

7、ξi-ηi

8、<δ，∴

9、-[F(a)-F(b)]

10、=

11、

12、≤<·=ε.由定积分定义，得(x)dx=F(a)-F(b).例1：利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分：(1)dx(n为正整数)；(2)dx；(3)(0

13、.(5)∵∫dx=-+C，∴dx=-=.例2：利用定积分求极限：.解：原式===ln(1+x)=ln2.注：和式是函数f(x)=在[0,1]上的一个积分和，这里所取的是等分分割，△xi=，ξi=∈,i=1,2,…,n.习题1、计算下列定积分：(1)dx；(2)dx；(3)；(4)dx；(5)dx；(6)dx；(7)；(8)dx.解：(1)dx=(x2+3x)=4.(2)dx=(2arctanx-x)=-1.(3)=lnlnx=ln2-ln1=ln2.(4)dx=(ex+e-x)=(e+e-1-2).(5)dx=(tanx-x)=-.(6)dx==(18+6)-(+4

14、)=.(7)令t=，则=dt=2(t-ln

15、1+t

16、)=4-2ln3.(8)dx=(lnx)3=.2、利用定积分求极限：(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)原式==dx==.(2)原式==dx=-=.(3)原式==dx=arcttan=.(4)原式==dx=-=.3、证明：若f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连续，且除有限个点外有F’(x)=f(x)，则有：(x)dx=F(a)-F(b).证：设除有限个点：y1,y2,…,ym外有F’(x)=f(x).对[a,b]上的任一分割T’，T={a=x0,x1,…,xn=b}是分割T’添加分点y1,y2,…,ym后

17、所得到的分割.在每个小区间[xi-1,xi]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则分别存在ηi∈(xi-1,xi)，i=1,2,…,n，使得F(b)-F(a)===.∵f在[a,b]上可积，∴f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使当x’,x”∈[a,b]且

18、x’-x”

19、<δ时，

20、f(x’)-f(x”)

21、<.于是，当△xi≤║T║<δ时，任取ξi∈(xi-1,xi)，便有

22、ξi-ηi

23、<δ，∴

24、-[F(a)-F(b)]

25、=

26、

27、≤<·=ε.由定积分定义，得(x)dx=F(a)-F(b).