漫谈正项级数的收敛性及收敛速度.doc

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1、漫谈正项级数的收敛性及收敛速度称为无穷级数。当时，此级数称为正项级数。记，，则为部分和数列。级数的敛散性是通过数列的敛散性来定义。显然，级数时，有。因此，时，必有级数发散。但是未必有收敛。只有当无穷小的阶高到一定的程度时，才收敛。可以证明：几何级数，当时收敛；当时发散。-级数，当时收敛；当时发散。由-级数的敛散性及比较判别法，可以看出，当趋于的速度快于时，级数收敛；而当趋于的速度不快于时，级数发散。因而，无穷小是衡量级数敛散性的一把“尺子”。可是，这把“尺子”有点粗糙了。事实上，尽管无穷小趋于的速度远远快于，但是级数仍然发散。可以证明，级数，当时收敛；当时发散。于是，无穷小是

2、衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当趋于的速度快于时，级数收敛；而当趋于的速度不快于时，级数发散。可是，马上又面临新问题：无穷小趋于的速度远远快于，但是仍然发散级数。于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺子”：，，。这些“尺子”可以无限的精细，一直进行下去。实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。由几何级数的的敛散性，可以看出，粗略的讲，当充分大时，正项级数的后一项小于前一项时，该级数就收敛，否则就发散。在此基础上，有了判断正项级数敛散性的比值（达朗

3、贝尔）判别法和根值（柯西）判别法：若（），则当时，正项级数收敛；当时，正项级数发散；而当时，判别法失效。这两种判别法具有明显的优势：仅需要级数自身项的性质，不需要比较级数，使用起来较为方便。然而它们是基于几何级数的判别敛散性的“尺子”，其精度远比基于-级数的“尺子”粗糙的多。事实上，对于，，可计算，因此，比值和根值判别法失效。但是，根据比较判别法和-级数的敛散性，前两个级数发散，后一个级数收敛。比值和根值判别法的本质是比较判别法，与之相比较的是几何级数。在判定级数收敛时，要求级数的通项受到（）的控制。而在判定级数发散时，则是根据其一般项不趋于。由于二者相去甚远。因此判别法在许

4、多情况下都会失效，即便对-级数也无能为力。为了弥补上述比值和根植判别法的局限性，我们有拉阿伯判别法：设，则当时收敛；当时发散。虽然拉阿伯判别法有时可以处理比值和根植判别法失效的级数，如-级数等，但是对于时，阿伯判别法仍然失效。例如，对于成立，但是由积分判别法可知，当时收敛；当时发散。事实上还可以建立比阿伯判别法更有效的判别法，如，Bertrand判别法：设，则当时收敛；当时发散。但是，当时，该判别法有失效了。这种逐次建立更有效的判别法的过程是无限的。每次都能得到新的适用范围更广的判别法。下面给出两个与级数收敛性及速度有关的有趣例子。问题1：曾经有同学向我提出这样一个问题：假设

5、汽车速度快于自行车的速度，而汽车在自行车的后方，则显然经过时间后，汽车就会追赶上自行车。但是，他有这样一个疑问？当汽车前进路程到达自行车原来所在的位置时，即经过了时间时，自行车又前进了路程。当汽车前进路程，即又经过了时，自行车又前进了路程，这样一直下去，直观上感觉，汽车总是差一点才能追赶上自行车。问题出在哪里呢？事实上该问题与无穷级数的收敛性有关。汽车追赶第段路程化肥的时间为，此时，汽车与自行车相距路程为，汽车追赶自行车花费的时间的总和是一个无穷级数，它是一个公比的几何级数，因此，和为。所以，经过时间后，汽车就会追赶上自行车。问题2：爬金箍棒的蚂蚁的故事（选自数学趣题与妙解）

6、：这天，孙悟空闲暇无时，他把他的金箍棒变成了cm长的小棒，立在地上。这是一只蚂蚁来到棒的底部，沿着小棒往上爬，孙悟空眼睛一亮，心想“要爬，没那么容易！”只听他叫了一声“变”，地上的棒应声长了起来，眼看越长越高，而那只蚂蚁似乎什么都没有发现，还是慢悠悠地一如既往地往上爬。如果蚂蚁始终沿铅垂线匀速上爬，每分钟上升cm。在孙悟空叫变时，已经爬至高cm处，此后，棒的各部分每个时刻都是匀速地变长，每经分钟，棒就增长cm，即第一分钟末，高cm，第二分钟末，高cm，第三分钟末，高cm，...请问最终蚂蚁能够爬到棒的顶端吗？不少人会说，由于蚂蚁爬行的速度不变，而棒的长度不停的变长，蚂蚁永远不

7、会爬到棒的顶端。这样他就忽略了一个事实：由于棒的各部分均匀变长，因而每个时刻，尚未爬过的、正在爬过的和已经爬过的部分都同样要变长的。第一分钟，蚂蚁爬过了cm，为棒高的；到第二分钟末，棒高伸长为cm，而爬过的cm，也变成了cm，因而，仍是棒高的且以后始终保持为棒高的。如果第一分钟末到第二分钟末这段时间内，新爬过的部分没有变长，则第二分钟内爬过的部分是棒高的，但实际上，新爬过的部分也在变长，因而第二分钟内爬过的高度要大于棒高的并且这一小段在以后棒变高的过程中，始终要大于棒高的。同理，第三分钟内，蚂蚁爬过的高