高三数学 专题4 三角变换与解三角形课件 理.ppt

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1、专题四三角变换与解三角形三角变换与解三角形主干知识梳理热点分类突破真题与押题31.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．考情解读主干知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2si

2、n2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．热点

3、一三角变换热点二解三角形热点三正、余弦定理的实际应用热点分类突破热点一三角变换思维启迪利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋π)进行比较.答案C思维启迪先对已知式子进行变形,得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系.即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，答案B(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条

4、件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.思维升华变式训练1设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；又θ是第二象限角，热点二解三角形例2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2sinA，＝0.(1)求边c的大小；思维启迪将＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cosC，进而求c.∴ccosB＋2acosC＋bcosC＝0，∴sinCcosB＋sinBcosC＋2sinAcosC＝0，∴sinA＋2sinAcosC＝0，∵sinA≠0，(2)求△ABC面积的最大值.思维启迪只需求ab的最大值，可利用cosC＝

5、和基本不等式求解.∴a2＋b2＋ab＝3，∴3ab≤3，即ab≤1.三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破.几种常见变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，其中R为△ABC外接圆的半径；(3)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC.思维升华变式训练2答案A解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①由①②得ab＝6.答案C例3(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径

6、.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量cosA＝，cosC＝.热点三正、余弦定理的实际应用(1)求索道AB的长；思维启迪直接求sinB，利用正弦定理求AB.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC所以索道AB的长为1040m.(2)问：乙出发多少分钟后，

7、乙在缆车上与甲的距离最短？思维启迪利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数.解假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内.求解三角形的实际问题