高考数学 专题练习 十一 三角变换与解三角形、平面向量 理

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1、高考专题训练十一　三角变换与解三角形、平面向量班级_______　姓名_______　时间：45分钟　分值：75分　总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　)A．λ1＝λ2＝－1　　　　　　B．λ1＝λ2＝1C．λ1λ2＋1＝0D．λ1λ2－1＝0解析：只要，共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得＝λ，即

2、a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于a，b不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.答案：D2．(·辽宁)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则

3、a＋b－c

4、的最大值为(　　)A.－1B．1C.D．2解析：a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，即a·b－(a·c＋b·c)＋c2≤0∴a·c＋b·c≥1.又

5、a＋b－c

6、＝＝＝≤1.答案：B3．(·全国)设向量a，b，c满足

7、a

8、＝

9、b

10、＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则

11、c

12、的最大值等于

13、(　　)A．2　　　B.C.　　　D．1解析：设＝a，＝b，＝c(ⅰ)若OC在∠AOB内，如图因为a·b＝－，所以∠AOB＝1又〈a－c，b－c〉＝60°，则O，A，C，B四点共圆．

14、AB

15、2＝

16、OA

17、2＋

18、OB

19、2－2

20、OA

21、·

22、OB

23、·cos13，∴

24、AB

25、＝.2R＝＝＝2，∴

26、OC

27、≤2，即

28、c

29、≤2.(ⅱ)若OC在∠AOB外，如图由(ⅰ)知∠AOB＝1又∠ACB＝60°，

30、OA

31、＝

32、OB

33、＝1，知点C在以O为圆心的圆上，知

34、c

35、＝

36、

37、＝1.综合(ⅰ)，(ⅱ)

38、c

39、最大值为2.答案：A4．在平面直角坐标系中

40、，O为坐标原点，设向量＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(　　)解析：由题意知＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A.答案：A5．(·天津)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为(　　)A.B.C.D.解析：如题图所示在△BCD中，∵BC＝2BD，∴＝.在△ABD中，∵AB＝AD,2A

41、B＝BD，∴cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∵∠ADB＝π－∠BDC，∴sin∠ADB＝sin∠BDC，∴sinC＝×＝.答案：D6．(·河南省重点中学第二次联考)在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为(　　)A.B.C．1D.解析：由sin2A＋cos2B＝1，得cos2B＝cos2A.又A、B为△ABC的内角，所以A＝B，则C＝π－2A.cosA＋cosB＋cosC＝2cosA＋cos(π－2A)＝2cosA－cos2A＝－2cos2A＋2cosA＋1＝－2

42、2＋，可知当cosA＝时，cosA＋cosB＋cosC取得最大值.答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共把答案填在题中横线上．7．(·江苏)已知tan＝2，则的值为________．解析：tan＝＝2，∴tanx＝，tan2x＝＝，则＝＝.答案：8．(·上海)函数y＝sincos的最大值为________．解析：y＝cosx·＝cos2x＋sinx·cosx＝·＋sin2x＝cos2x＋sin2x＋＝sin＋.故ymax＝＋.答案：＋9．(·江西)已知

43、a

44、＝

45、b

46、＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2

47、，则a与b的夹角为________．解析：(a＋2b)·(a－b)＝－2∴a2＋a·b－2b2＝－2∵

48、a

49、＝2，

50、b

51、＝2，∴4＋a·b－8＝－2，∴a·b＝2∴cosθ＝＝＝，0≤θ≤π，∴θ＝.答案：10．(·湖南)在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.解析：∵＝2，∴D为BC中点．∵＝3，∴E为AC边上距C近的一个三等分点．∴＝(＋)，＝－＝－.又

52、

53、＝

54、

55、＝1，与夹角为60°，∴·＝(＋)·＝＝＝＝－.答案：－三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过

56、程或演算步骤．11．(12分)(·广东)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.(1)求f的值；(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．解：(1)f＝2sin＝2sin＝2sin＝.(2)∵f＝2sin＝2sinα＝，∴sinα＝，又α∈，∴cosα＝，∵f(3β＋2π)＝2sin＝2sin＝2cosβ＝，∴cosβ＝，又β∈，∴sinβ＝.∴co