高中数学-数列求前n项和方法汇总及练习.doc

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1、高中数学-数列求和方法汇总及经典练习（含答案）一、公式法:利用以下公式求数列的和1.(为等差数列)2.()或(为等比数列)3.4.等公式例已知数列，其中，记数列的前项和为，数列的前项和为，求。解：由题意，是首项为，公差为的等差数列前项和，二、分组求和法对于数列，若且数列、……都能求出其前项的和，则在求前项和时，可采用该法例如：求和：解：设三、倒序相加法（或倒序相乘法）将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个，Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。1．倒序相加法例设，

2、利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为：。解：因为f（x）=，∴f（1－x）=∴f（x）+f（1－x）=.设S=f（－5）+f（－4）+…+f（6），则S=f（6）+f（5）+…+f（－5）∴2S=（f（6）+f（－5））+（f（5）+f（－4））+…+（f（－5）+…f（6））=6∴S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（6）=3.2．倒序相乘法例如：已知、为两个不相等的正数，在、之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积解：设插入的这个正数为、、、……且数列、、、、……、成等比数列则……①又……②由①②得四、错

3、位相减法对于数列，若且数列、分别是等差数列、等比数列时，求该数列前项和时，可用该方法。一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，就是错位相减法。例已知数列：，求数列前项和解：在上式两边同乘以(或除以)等比数列的公比3，得由①～②（两等式的右边错位相减）∴五、裂项相消法对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前项和公式．它适用于型（其中{}是各项不为0的等差数列

4、，c为常数）、部分无理数列、含阶乘的数列等。常见的裂项方法有：1．2．3．4．还有：；；；等。例已知数列：，求数列前项和解：六、并项法例已知则解：同理七、拆项重组求和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．也称分组求和法.例求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设∴＝将其每一项拆开再重新组合得：Sn＝＝＝＝八、累加法给出数列｛｝的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为型，可以考虑利用累加法求和，此法也叫叠加法。例数列的前项和为，已知，求

5、解：由得：，即，，对成立。由，，…，累加得：，又，所以，当时，也成立。经典高考练习题1.已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求数列2.已知数列满足递推式，其中（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）求数列的前n项和3．已知数列的前项和为，且有，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项的和。4.已知数列{}满足，且．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）证明数列{}是等差数列；（Ⅲ）求数列{}的前项之和5.数列的前项和为，，　（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和6..求证：⑴数列{bn+2}是公比为2的等比数列；⑵；⑶.7.已知各项都不相等的等差

6、数列的前六项和为60，且的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和Tn.8.已知是数列的前项和，，且，其中.①求证数列是等比数列；②求数列的前项和.9.已知是数列{}的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设）.（I）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（II）设的前n项和，求.经典高考练习题参考答案1.解析：设该等差数列为，则，，即：，，，，的前项和当时，，（8分）当时，，2.解：（1）由知解得：同理得（2）由知构成以为首项以2为公比的等比数列；；为所求通项公式（3）3.解：由，，又，，是以2为首项，为公比的等比数列，，（1）（2）（1）—（2）得即：，4

7、．解：（Ⅰ），．（Ⅱ），∴，即．∴数列是首项为，公差为的等差数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）得∴．．∴．5.解：（Ⅰ），，　又，数列是首项为，公比为的等比数列，　当时，，（Ⅱ），当时，；当时，，…………①，………………………②得：　　又也满足上式，6.解：⑴数列{bn+2}是首项为4公比为2的等比数列；⑵由⑴知……上列（n-1）式子累加：⑶.7.解：（1）设等差数列的公差为，则解得.（2）由8.解：①　　　　　又也满足上式，　　　　　（）数列是公比为2，首项为的等比数列（2）由①，于是9.解析：（I）两式相减：是以2为公比的等