高数上册第3章微分中值定理与导数的应用ppt课件.ppt

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1、第3章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理§3.1微分中值定理第3章费马(Fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在证:设则费马证毕罗尔（Rolle）中值定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m

2、,则因此在(a,b)内至少存在一点若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:(1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.则由费马引理得例如,使得(2)定理条件只是充分的而非必要的.例如在上三个条件均不满足，却存在使(3)罗尔定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.验证结论：因此，罗尔定理对函数解：例1.验证罗尔定理对函数在区间上的正确性.例2.证明方程在开区间(0,1)内有且仅有一个实根.证:(1)存在性.则

3、在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有一个实根(2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏证毕拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论1:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证:在I上任取两点格朗日中值

4、公式,得由的任意性知,在I上为常数.令则设函数在区间I上的导数处处相等，则在I上，验证结论：所以，解：推论2：例1.例2.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有例3.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在I上三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:问题转化为证柯西构造辅助函数证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的

5、下述证法对吗?两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率例1.设至少存在一点使证:问题转化为证设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使即证明三、其他未定式二、型未定式一、型未定式§3.2洛必达(L’Hospital)法则第3章一、存在(或为)定理1.型未定式(洛必达法则)注：例1.求极限解:原式洛例2.求极限解：原式=洛例3.求极限解：原式=二、型未定式(或为∞)定理2.(洛必达法则)例4.求解:原式例4.求解:原式洛洛例4.例4

6、.说明:(1)例4,例4表明时,后者比前者趋于更快.例如,事实上用洛必达法则(2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.(3)若例如,极限不存在不能用洛必达法则!即三、其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例5.求解:原式洛解:原式例6.求通分转化取倒数转化取对数转化例7.求解:利用例5例5通分转化取倒数转化取对数转化二、几个初等函数的麦克劳林公式一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用应用目的－用多项式近似表示函数.理论分析近似计算§3.3泰勒(Taylor)公式第3章有限增量公式

7、：一、泰勒公式的建立微分近似公式:需要解决的问题精确度不高误差不能估计高次多项式去近似``心中不安``1.求n次近似多项式要求:故令则2.余项估计令(称为余项),则有公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒(Taylor)中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当泰勒公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④*可以证明:④式成立特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为可见误差拉格朗日中值公式称为麦克

8、劳林(Maclaurin)公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上麦克劳林由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中麦克劳林公式其中麦克劳林公式麦克劳林公式类似可得其中其中麦克劳林公式已知其中因此可得麦克劳林公式三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已