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1、§1傅里叶级数一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利,但对函数的要求很高(无限次可导).如果函数没有这么好的性质,能否也可以用一些简单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数呢?这就是将要讨论的傅里叶级数.傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用,是又一类重要的级数.返回一、三角级数·正交函数系三、收敛定理二、以为周期的函数的傅里叶级数一、三角级数·正交函数系在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一种周期运动.最简单的周期运动,可用正弦函数来描述.由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,其中A为振幅.为初相角,为角频率,于是简谐振动y的
2、周期是较为复杂的周期运动,则常常是几个简谐振动动现象.对于级数(3),只须讨论(如果可用代换x)的情形.由于所以它是由三角函数列(也称为三角函数系)所产生的一般形式的三角级数.容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一个以为周期的函数.关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:则级数()可写成定理15.1若级数收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证对任何实数x,由于根据优级数判别法,就能得到本定理的结论.为进一步研究三角级数(4)的收敛性,先讨论三角函数系(5)的特性.首先容易看出三角级数系(5)中所其次,在三角函数系(5)中,任何两个不
3、相同的函数有函数具有共同的周期的乘积在上的积分等于零,即而(5)中任何一个函数的平方在上的积分都不等于零,即若两个函数与在上可积,且则称与在上是正交的,或在上具有正交性.由此三角函数系(4)在上具有正交性.或者说(5)是正交函数系.现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)的和函数f与级数(4)的系数之间的关系.定理15.2若在整个数轴上且等式右边级数一致收敛,则有如下关系式:二、以为周期的函数的傅里叶级数证由定理条件,函数f在上连续且可积.对(9)式逐项积分得由关系式(6)知,上式右边括号内的积分都等于零.所以即又以乘(9)式两边(k为正整数)
4、,得从第十三章§1习题4知道,由级数(9)一致收敛,可得级数(11)也一致收敛.于是对级数(11)逐项求积,有由三角函数的正交性,右边除了以为系数的那一项积分外,其他各项积分都等于0,于是得出:即同理,(9)式两边乘以sinkx,并逐项积分,可得由此可知,若f是以为周期且在上可积的函数,则可按公式(10)计算出和,它们称为函数f(关于三角函数系(5))的傅里叶系数,以f的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数,记作这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数,由定理15.2知道:若(9)式右边的三角级数在整个数轴上一致收
5、敛于和函数f,则此三角级数就是f的傅里叶级数,即此时(12)式中的记号“~”可换为函数f出发,按公式(10)求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数(12),这时还需讨论此级数是否收敛.如果收敛,是否收敛于f本身.这就是下一段所要叙述的内容.等号.然而,若从以为周期且在上可积的函数f在上按段光滑,则在每一点f的傅里叶级数(12)收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值,即其中为f的傅里叶系数.定理的证明将在§3中进行.定理15.3(傅里叶级数收敛定理)若以为周期的三、收敛定理注尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数,但它对函数的要求却比幂级数要低得多,所以应用更广.而
6、且即将看到函数周期性的要求也可以去掉.概念解释1.若f的导函数在上连续,则称f在[a,b]上光滑.2.如果定义在上函数f至多有有限个第一类间断点,其导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续,并且在这有限个点上导函数的左、右极限存在,则称f在上按段光滑.在[a,b]上按段光滑的函数f,有如下重要性质:(i)f在上可积.(ii)在上每一点都存在,如果在不连续点补充定义,或,则还有(iii)在补充定义在上那些至多有限个不存在导数的点上的值后(仍记为),在[a,b]上可积.从几何图形上讲,在区间[a,b]上按段光滑光滑函数,是由有限个多有有限个第一类间
7、断点(图15-1).光滑弧段所组成,它至收敛定理指出,f的傅里叶级数在点x处收敛于在该点的左、右极限的算术平均值而当f在点x连续时,则有即此时f的傅里叶级数收敛于.这样便有上按段光滑,则f的傅里叶级数在上收敛于f.推论若f是以为周期的连续函数,且在所以系数公式(10)中的积分区间可以改为长其中c为任何实数.注2在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时,经常只给出函数在(或)上的解析式,但读注1根据收敛定理的假设,f是以为周期的函数,度为的任何区间,而不影响,的值:者应理解为它是定义在整个数轴上以为周期的函数,即在以外的部分按函数在上的对应关系做周期延拓.也就是
8、说函数本身不一定是定义在整个数轴上的周期函数,但我们认为它是周期函数.如f为上的
