函数的奇偶性和周期性讲义.doc

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1、学科培训师辅导讲义学员编号年级高一课时数2学员姓名辅导科目数学学科培训师周老师课题函数的基本性质—奇偶性和周期性备课时间2014年08月27日授课时间2014年08月28日教学内容（一）主要知识：1．奇函数：如果对于函数yf(x)的定义域D内任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数yg(x)的定义域D内任意一个x，都有xD，都有g(x)g(x)，那么函数g(x)就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心

2、的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．4．奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；⑵f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称；⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．⑷f(x)为偶函数f(x)f(x)f(

3、x

4、)．⑸若奇

5、函数f(x)的定义域包含f(0)00，则．5．函数的周期性：(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．三条结论：(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x

6、)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．11(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝f(x)）或f(x＋a)＝－f(x)），那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2

7、a－b

8、.（二）主要方法：1．判断函数的奇偶性的方法：⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断f(x)f(x)或f(x)f(

9、x)是否定义域上的恒等式；⑵图象法；⑶性质法：①设f(x)，g(x)的定义域分别是D,D，那么在它们的公共定义域DDD上：奇奇1212奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；f(x)2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)f(x)0，1．f(x)（三）典例分析1．下列函数中，在其定义域内即是奇函数又是减函数的是（）x13fxxRA．fxxxRB．fxsinxxRC．fxxxRD．2y(

10、x1)(xa)2．若函数为偶函数，则a=（）A．2B．1C．1D．253．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f（-2）＝()．1111A.－2B.－4C.4D.25511解析：因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f（-2）＝－f（2）＝－f（2）＝－2.故选A.答案A14．f(x)＝x－x的图象关于()．A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称11解析：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝－x－(－x)＝－－x＝－f(x)，则f

11、(x)为奇函数，图象关于原点对称．答案C5．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()．A．f(x)＋

12、g(x)

13、是偶函数B．f(x)－

14、g(x)

15、是奇函数C．

16、f(x)

17、＋g(x)是偶函数D．

18、f(x)

19、－g(x)是奇函数解析：由题意知f(x)与

20、g(x)

21、均为偶函数，A项：偶＋偶＝偶；B项：偶－偶＝偶，B错；C项与D项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.答案A6．对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1

22、)，所得出的正确结果一定不可能是()．A．4和6B．3和1C．2和4D．1和2解析：∵f(1)＝asin1＋b＋c，f(－1)＝－asin1－b＋c且c∈Z，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶数，只有D项中两数和为奇数，故不可能是D.答案D7．若函数f(x)＝x2－

23、x＋a

24、为偶函数，则实数