集合论第1章集合及其运算.pdf

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1、集合论与图论以前学习的高等数学（数学分析）都是连续函数，而计算机是离散型结构，所以它所研究的对象应是离散型的。因此，做为计算机理论的核心课程《离散数学》就显然非常重要，计算机专业学生必须开设此课程。目的：培养学生抽象思维和逻辑思维的能力要求：概念第一，正确使用概念进行正确的推理。特点：抽象，概念多；与其它课程不同，不是以计算为主，而是以推理论证为主；比较难。内容：集合映射集合论关系无穷集合图的基本概念树和割集离散数学图论连通度和匹配平面图的欧拉公式和图的着色有向图近世代数数理逻辑形式语言与自动机可计算理论等等离散

2、：不考虑实数的性质，只考虑有限或可数的整数。因此可用归纳法。1第一篇集合论集合论是德国数学家康托（Cantor）在1874年建立的，它是现代数学的基础，在当今数学中每个对象本质上都是集合。有时我们说：“数学能嵌套在集合论中”其含义就是指数学的一些对象如：数、函数、线、面等都可以用集合来定义。换句话说，数学的各个分支在本质上都是研究这种或那种对象的集合。例如：几何学——研究点、线、面的集合；数学分析——连续函数的集合；代数——研究数的集合以及在此集合上定义有关运算的集合等等。因此，把集合论作为现代各种数学的基础是有

3、道理的，也是合适的。集合论的特点：（1）研究的对象十分广泛：数、图形或其它任何客体都可以作为研究的对象。（2）因为它研究的对象是如此广泛，为了便于研究必须寻找对象的共性，而要做到这一点，就必须进行抽象。（3）在抽象化的基础上，可用统一的方法来研究和处理集合论的各类问题。2第一章集合及其运算§1集合的基本概念在日常生活中，经常会遇到“集合”的概念，例如：所有中国人的组成的集合；坐标面上的有点的集合，自然数集，实数集，全世界无产者等等。集合是集合论中最基本的概念，所以很难给出精确的定义。因此，我们把“集合”作为原始的

4、概念给出非形式定义，只给予一种描述说明这个概念的含义。1.1集合含义一般地，把一些确定的，可以区分的事物放在一起组成一个整体称为集合，简称集。组成集合的每个事物称为集合的元素（或成员）。〔我们的书定义为：把一些互不相同东西放在一起形成一个整体〕一、怎样理解集合：集合的概念很简单，但准确理解其含义却非易事，注意以下几点：（1）集合的元素可以是任何事物，既可以是具体的事物，也可以是抽象的事物，还可以是另外的集合，但构成这个集合的元素决不能是这个集合的自身。（2）一个集合的各个元素是可以互相区分的。这意味着，在这个集合

5、中不会重复出现相同的元素。（3）组成一个集合的各个元素在说集合中是无次序的。（4）任一元素（事物）是否属于一个集合，回答是确定的。也就是说，a,A,aA或aA必有一个成立。二、集合论中三个原始概念：集合、元素、。三、集合与元素的表示符号用大写的字母表示不同的集合：如：A,B,C⋯用小写的字母表示不同的元素：如：a,b,c⋯但这种表示不是唯一的，因为某个集合的元素可以是另一个集合。四、几种特殊集合的表示符号N－自然数集合：I(Z)－整数I(Z)－正整数I(Z)－负整数Q－有理整数Q－正有理数Q－负有理数3R－实数R

6、－正实数R－负实数C－复数等等外延表示法1.2集合的具体表示方法内表示法一、外延表示法――把集合中的全部元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。例：A＝｛1，2，3，4，5｝一般说来，一个集合仅含有少数几个元素时，才可用这种方法给出。即使有限个但数量较大，原则上这种方法也是可行的，然而实际上，很少能把全部元素列出。不过当列出几个元素后，就可以看出组成该集合的其他元素的规律时，也可采用此方法，只列出部分元素，其余用“⋯”来表示。例：｛a，b，c，⋯，x，y，z｝利用此方法可以表示含有无穷多个元

7、素的集合。N＝｛1，2，3，⋯｝二、内涵表示法——用集合中元素的共同性质来刻画集合。A｛x

8、x是整数且1x5｝N＝｛x

9、x是自然数｝或N＝｛x

10、x是大于零的整数｝E＝｛x

11、x＝2n，nI｝｛f(x)

12、f(x)在〔a，b〕上连续｝等等〔0，1〕＝｛x

13、x〔0，1〕且x是实数｝集合还有其它表示方法，但上述两种表示方法是常用的。原则上，能简单、准确而且易于被大家公认的表示方法都是可以使用的。例如〔0，1〕区间上的所有实数的集合，就可以用〔0，1〕表示。1.3空集和全集这是两个特殊的集合，虽然它们的概念很简单，但在集合中

14、的地位却很重要的。定义1不含任何元素的集合称为空集，记为。符号化表示为：{x

15、xx}2例1方程x10的实根的全体形成的集合就是空集。4定义2在给定的问题中，所考虑的所有事物的集合称为全集，记为S。符号化表示为：S{x

16、xx}说明：全集是一个相对的概念，由于所研究的问题不同，所取的全集也不同。1．在研究平面解析几何问题时，可以把整个平面取作全集。2．在初等数论中，把整数集I