第3章 集合论基础.ppt

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1、第3章集合的基本概念和运算本章主要内容如下：3.1集合的基本概念3.2集合的基本运算3.3集合中元素的计数13.1集合的基本概念一、集合和元素集合：把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来看待时，这个整体便称为是一个集合。元素：组成集合的那些个体称为集合的元素。例：全体中国人可组成一个集合，每一个中国人均是这个集合的元素；所有的正整数组成一个集合，每一个正整数均是这个集合的元素。2adfadffd通常用大写英文字母来标记集合，用小写英文字母标记组成集合的个体。a是集合A的元素，则记作“aA”；a不是集合A的元素，则记作“aA”。常用的集合的表示符号：N：正整数集合Q：有理数集合Z：

2、非负整数集合R：实数集合I：整数集合C：复数集合例：2N，2.5N，-3N，但2.5Q，-3I3adfadffd二、集合的表示方法列元素法：按任意顺序逐一列举集合中的元素于花括号内，元素之间用逗号隔开。例如：A={2,a,b,9},B={4,5,6,7,8}谓词表示法：谓词P(x)表示一个属性，其一般形式为A={a∣P(a)}例如：上述集合B={a∣(a∈N)(4≤a≤8)}例：谓词表示法列元素法C={2i∣i∈Z}C={20,21,22,23,…}D={2x(x∈Z)(x≤50)}D={0,2,4,6,…,98,100}4adfadffd注：集合中的元素不可同名(互异性

3、)：A={a,b,a,d,c,b,f,a}={a,b,d,c,f}集合中的元素无顺序(无序性)：A={a,b,d,c,f}={a,b,c,d,f}集合中的元素可以是集合(嵌套性)：B={a,b,{a},d,c,{b,f,a}}C={a,b,{a,d,c},{b,f,a}}A,B,C集合各不相同。5adfadffd三、集合之间的关系定义3.1设A、B为集合，如果B的每一个元素都是A的元素，则称B是A的子集合，也称B被A包含，或A包含B。记BA。如果B不是A的子集，则记作BA。符号化表示BAx(xBxA)例：设A={a,b,c,d},B={a,e,x,y,z},C={a,x}

4、则CB，CA，BA，AB.例：NZQRC.性质：(1)对任意集合A，AA；(2)对任意集合A、B、C，若AB，BC，则AC.6adfadffd定义3.2设A、B为集合，若BA且AB，则称集合A与B相等，记作A=B。符号化：A=Bx(xAxB)(AB)(BA).例：设A={x

5、x∈N且x能整除24}，B={1,2,3,4,6,8,12,24}，则A=B定义3.3设A、B为集合，若BA,且B≠A，则称B是A的真子集，记作BA，若B不是A的真子集，则记作BA。符号化：BA(BA)(B≠A)x(xBxA)x((xA)(

6、xB)).例：设A={0，1}，B={0，1，2}，C={0}则CAB.7adfadffd定义3.4不含任何元素的集合，称为空集，记作。例：A={x

7、x∈R且x2+8=0}=定理3.1空集是一切集合的子集。证明：对任意集合A，由子集定义Ax(xxA)由于x0，故上式右端为重言式，即A.推论：空集是唯一的。证明：设存在两个空集1和2，由定理3.112且21，故1＝2.注意：，{}，{{}}都不相同。n元集合（m元子集合，mn）A={a,b,c},为0元子集；{a},{b}为1元集合；A为3元集合。8adfadffd幂集定义3

8、.5设有集合A，由A的所有子集组成的集合，称为集合A的幂集，记作2A即例1设A={a}则0个元素的子集：1个元素的子集：{a}因此设B={a,b}则0个元素的子集：1个元素的子集：{a},{b}2个元素的子集：{a,b}因此设C={a,b,c}则0个元素的子集：；1个元素的子集：{a},{b},{c}2个元素的子集：{a,b},{a,c},{b,c}3个元素的子集：{a,b,c}因此9adfadffd例设,求2A和2B解对于集合A，它只有一个子集，即对于集合B，有1个元素的子集：，{a}，{{a}}2个元素的子集：,,3个元素的子集：0个元素的子集：因此10adfadffd定义3.6在一

9、个具体问题中，如果所涉及的集合均是某个集合的子集，则称这个集合是该问题的全集。记作E（或U）。全集是个相对性的概念：不同问题对应不同的全集。研究整数问题时，全集是Z；研究实数问题时，全集是R。作业：P73—3.9,3.10,3.12,3.1411adfadffd练习用列举法表示下列集合（1）A={a

10、a∈P且a<20}（2）B={a

11、

12、a

13、<4且a为奇数}2.用描述法表示下列集合(1)A={0,2,4,…,200}(2)B={2,4