数学基础集合论

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1、1数学の基礎としての集合論vs.数学としての集合論∗渕野昌(Saka´eFuchino)神戸大学大学院工学研究科情報知能学専攻1はじめに「集合論は数学の基礎である」というような主張を耳にすることがある．しかし，数学の現場ではこの主張の意味するところは顧みられることが少ないように思える．日本での数学系の学科では集合論を選択科目としてすら教えないことがほとんどなので，多くの人にとって，この主張を吟味するための背景知識は全く与えられていない，というのが現状であろう．[13]の前書きには，集合論の上に全数学が築かれることは常識であるのに，公理的集

2、合論の授業は（とくに日本では）非常にすくない．...公理的集合論を知らない数学者も多いだろう．...という一節が見られる．しかし，もし日本の多くの数学者が公理的集合論を知らないのだとすると，それは取りも直さず，数学をやるためには集合論などいらない，ということを示唆しているのではないだろうか？これは，一面そうとも言えるかもしれないが，しかし講演者には，むしろ，そうとは言いきれない面もあるように思える．次のような相似な状況を考えてみよう．数学は（理論）物理学の基礎である，という主張はあながち的外れなものではないであろう．しかし，話してみると，

3、物理学者の中には数学の何たるかを本当に全く知らない人がいることに驚かされることがある∗1．そのよう*このテキストは，著者の中部大学在職中の2003年9月24日に，千葉大で開かれた数学会の秋季総合分科会の企画特別講演として講演したものの予稿に若干手を加えたものです．¤1これは単に講演者の個人的な体験である．もちろん逆に，物理学者の中には数学者も顔負けの数学の達人もいたりもするのだが．2な人は，自分は数学を知らなくても物理学の研究ができているのだから，物理学には数学などいらないのだ，と主張するかもしれない．しかし，数学者としては，そのような主

4、張に対して「そんなこともないでしょう...」と異議をはさみたくなるところである．同様に，数学をやるには集合論などいらない，という主張には，講演者はやはり異議を唱えたくなるのである．ここで，“異議を唱えたくなる”，というのは単に好みや政治的立場上で言っているわけではなく，それなりの理由があるわけだが，そのことを説明するために，本講演では「集合論は数学の基礎である」という命題をあらためて検証しなおしてみたいと思う．といっても，できるだけ何の前提知識も仮定せずに論ずることを試みることになるめ，ここで述べることのできるのは，ごく初等的な事柄ばかり

5、であり，より本格的な議論については別の機会に譲らざるを得ない．さて，「数学の基礎としての集合論」というような趣旨で話を進めると，多分，「そんなことを言っても実際には集合論は何か役に立つのか？」というような疑問を呈される方が必ずいるものと思う．「役に立つのか？」という設問は，たとえば工学部での議論では，（この頃よく聞く表現で言うと）「経済効果が大きいのか？」というものとほとんど同質であることが多のではないだろうか．一方，数学者が，こう質問したときには，その意味するところは畢竟「それを使って面白い定理が証明できるのか？」または「面白い理論は構

6、築できるのか？」といったところではないだろうか∗2？そこで，本講演の後半では，集合論がこの意味で非常に“役に立つ”ものであることを示すような例をいくつかとりあげてみたいと思う．2数学の基礎としての集合論集合論と数学の関係の考察にあたって，まず集合論の基礎的な部分を復習してみることにする．集合論は，標準的には以下のような公理からなる数学的体系での（かつ／または，このような数学的体系に関する）研究である．以下で述べる公理系は，ツェルメロ(ErnstZermelo,1871–1953)により定式化され，フレンケル(AbrahamFraenkel

7、,1891–1965)によりさらに拡張されて得られた体系に基づくもので，ZFCとよばれている．‘Z’と‘F’はこの２人の頭文字で，最後の‘C’は選択公理(axiomofchoice)をあらわしている．¤2あるいはもっと露骨に，「自分の研究で使えるのか？」ということかもしれない．3公理的集合論では，考察の対象はすべて集合である，と考える．したがって，以下で，“あるxについて...”と言ったときには“ある集合xについて...”という意味である．集合論では，対象の集まりかたのみが問題となるので，２つの集合a,bに対して“aがbの要素である”とい

8、う帰属関係を唯一の基本的な述語として採用する．この関係を“a∈b”とあらわす．他の述語はすべて帰属関係（および，より基本的な同等関係“=”）のみを使って定義される．a∈bのときaはbの元（げん